Démonstrations au collège et au lycée

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Réponses

  • C’est bien ton droit de pratiquer l’empirisme mathématique 

    Cette remarque me semble être un contre-sens.
    Il n'y a rien de plus pratique qu'une théorie correctement maitrisée. 

    Autrement dit, un spécialiste en couture sur barbaque 
    ce n'est pas seulement quelqu'un qui n'hésite pas à "tailler dans le mou".
    C'est aussi quelqu'un qui prévoit les conséquences de ses gestes... et qui ne se goure pas dans ses prévisions.

    Cordialement, Pierre.


  • Arnaud_G
    Modifié (2 Apr)
    Je pense que le "détachement" à des grandeurs précises (sous forme d'un réel "connu") dans les démonstrations en géométrie pose problème au collège.
    Les longueurs notées $a$, $b$, $x$, $y$ ... sont mal perçues.
    Les collégiens ont du mal à saisir que le résultat démontré est vrai quelles que soient les longueurs considérées "en vrai".
  • Les mathématiques, cela consiste à faire... Construire des ponts qui ne s'écroulent pas. Construire des maisons qui ne seront pas inondées.

    Bof, ça c'est plutôt de l'ingénierie.

  • D’autant que ce qui n’était pas inondable l’est devenu ! La tangente à une ellipse a un comportement moins instable car elle n’obéit pas aux règles de l’urbanisme.
  • stfj
    Modifié (2 Apr)
    Pour répondre à OP, j'ai tenté un exercice cette année. Même si c'était maladroit (je le reformulerai plus mathématiquement à l'avenir), vraiment l'impression de faire des maths et cerise sur le gâteau, cela a clairement plu aux élèves de deux classes.

    Quant au texte de Bourbaki cité par @Thierry Poma, "Depuis les grecs, qui dit mathématique, dit démonstration...", cette réflexion de Bourbaki ne réduit en rien la pratique mathématique à la démonstration. Chaque membre de Bourbaki a bien sûr dans sa pratique quotidienne multiplié les travaux divers et variés qui précèdent la découverte de propriétés nouvelles. Je crois que Dieudonné évoque quelque part les chemins alambiqués parcourus par tel ou tel mathématicien qui mènent à telle ou telle découverte, et dont finalement l'étudiant n'a que faire.

    Pour revenir sur un terrain que je connais mieux, c'est intéressant de voir des élèves tenter des trucs, se tromper, réessayer, se convaincre, tenter de convaincre, s'intéresser ou non à l'explication de l'enseignant, ...
  • Pldx1 s'extasie devant sa découverte que l'on peut utiliser une égalité dans le deux sens. Ah? ben pourquoi pas!
    Il trouve que (a+b)²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=aa+ab+ba+bb c'est intéressant de le refaire à chaque fois parce qu'on a beau être empiriste, les économies d'échelle c'est surfait. Il faut de tout pour faire un monde!
    Il veut nous dire que lui il est plus mieux pour enseigner. Ah bon? Ben écoute écris-nous un bouquin, voire un manuel... On aime bien, nous, regarder les manuels de ceusses qui savent, on est sûrs de toujours rigoler!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Soc
    Soc
    Modifié (2 Apr)
    Sinon pour dire qu'on peut quand même arriver à leurs faire faire des trucs, sur cet exercice pour une classe de 3ème, il y a une dizaine d'élèves qui arrivent au bout sans aide, pas tous par le même chemin. (cosinus vu en classe, mais pas encore tangente et sinus).

    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Vassillia
    Modifié (2 Apr)
    pldx1 adore la provocation (et mettre de la géométrie dans tous les fils où il y a moyen) mais il n'a quand même pas tort.
    Dans un sens, il n'y a qu'à appliquer les règles pour développer (ce qui peut représenter une difficulté tout de même évidemment au moins pour les erreurs d’inattention).
    Dans l'autre sens, il faut identifier les coefficients qui vont bien pour factoriser (ce qui représente une difficulté bien supérieure car il y a une part de recherche).
    Tentons une comparaison, c'est comme entre dériver et primitiver (même des formes usuelles), il y a quand même un sens qui va nettement mieux que l'autre.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Soc
    Soc
    Modifié (2 Apr)
    L'effet comique ne vient pas de là, il vient du fait qu'il croit avoir fait une découverte. Accessoirement (ou pas), les élèves comprennent beaucoup mieux la factorisation s'ils ont passé suffisamment de temps à développer. Il est assez étonnant d'avoir besoin de préciser cela.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • biely
    Modifié (2 Apr)
    Disons que le sens développement était utile pour gagner du temps et le sens factorisation était indispensable pour résoudre une équation ou connaître le signe d’une expression.
     Si j’utilise l’imparfait c’est que c’était indispensable pour des collégiens qui passaient leur brevet dans les années 80 (il suffit de voir les sujets de l’époque pour s’en assurer) alors que ce n’est plus le cas aujourd'hui (ou le jeu n’en vaut pas la chandelle).
  • stfj
    Modifié (7 Apr)
    "We often hear that mathematics consist mainly of "proving theorems". Is a writer's job mainly  that of "writing sentences"? (Gian-Carlo Rota)
    [En français cela donne ça (merci Google Traduction). AD]
    "On entend souvent que les mathématiques consistent principalement à "démontrer des théorèmes". Le travail d'un écrivain consiste-t-il principalement à "écrire des phrases" ? (Gian-Carlo Rota)
  • JLapin
    Modifié (7 Apr)
    Le travail d'un écrivain consiste-t-il principalement à "écrire des phrases" ?
    Bêtement, j'aurais dit oui...
  • Chaurien
    Modifié (7 Apr)
    J'ai déjà lu des textes de Gian-Carlo Rota, mieux inspirés que cette boutade bas-de-gamme, dont j'aimerais connaître le contexte et la référence.
    On aimerait savoir en quoi alors consistent les mathématiques pour lui.
    D'acord avec @JLapin, le travail de l'écrivain consiste à écrire des phrases, qui racontent quelque chose, dans un certain but. Le travail du mathématicien consiste lui aussi à écrire des phrases, dans un certain but qui est d'expliquer le pourquoi d'une certaine situation, autrement dit de démontrer des assertions.
  • raoul.S
    Modifié (7 Apr)
    Dégager de nouvelles notions peut aussi faire partie du travail de mathématicien.
  • Et aussi créer des liens entre des domaines a priori différents.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • stfj
    Modifié (8 Apr)
    @Chaurien : bonjour. J'ai trouvé la boutade hors contexte et sans référence ici. D'ailleurs l'article manque peut-être de sérieux car la première photo qu'on voit me semble plutôt être une photo de Pierre Cartier.
  • Pour répondre à la question initiale, je fais travailler mes élèves en 5ème (et un peu en 6ème) sur des démonstrations.
    Je profite de certaines situations pour introduire et rappeler le vocabulaire de mon cours : affirmation (énoncé de la forme si ..., alors ... soit vrai soit faux, ce qui facilitera le mot réciproque) , proposition (énoncé vrai), contre-exemple (on en dessine dès qu'une définition le permet et que j'y pense), preuve ou démonstration. Dans la pratique, soit nous en faisons une ensemble, ils essaient d'en faire une seul ou en petit groupe et nous corrigeons, soit, quand ils sont plus aguerris, ils ont la question "Démontrer ..." avec des étapes données ou pas. 

    En 5ème, nous avons admis les propriétés de la symétrie centrale puis, plus tard dans l'année, démontré les propositions sur les angles (opposés par le sommet, alternes-internes et correspondants) et la somme des mesures d'angles dans un triangle. Cela nous permettra de démontrer les propriétés des parallélogrammes un peu plus tard. Nous avons fait aussi quelques preuves en calcul littéral (formule pour calculer rapidement la somme de 10 entiers consécutifs, en acceptant l'associativité et la commutativité de l'addition) ou en arithmétique (somme de deux nombres entiers consécutifs est impaire).
    Moi, j'aime beaucoup ça. Cela permet de rattraper certains élèves qui ont des difficultés dans la maîtrise des savoirs/techniques de l'école primaire mais qui arrivent très bien à faire du "calcul sur les énoncés". C'est vrai que toute la classe ne comprend pas forcément mais à force de le retravailler, celles et ceux qui essaient s'améliorent. 

    En 4ème, j'en fais aussi mais c'est un peu plus hors-sol, je trouve. La démonstration du théorème de Pythagore par les aires fonctionnent bien mais celle de Thalès me semble plus difficile pour les élèves (si vous en avez des plus accessibles pour mes 4èmes, je suis preneur). La réciproque de Pythagore en admettant une propriété sur les triangles égaux marche plutôt bien. Par contre, la démonstration de la règle des signes (évoquée avant) a été un gros échec. Aucun élève ne l'a comprise. Là aussi, si quelqu'un a une idée pour faire comprendre cette démonstration, je suis à l'écoute.

    Ces démonstrations ne sont pas parfaitement rigoureuses et nécessitent souvent de s'appuyer sur des énoncés que nous n'avons pas forcément démontrer. Mais j'essaie de le dire (on utilise la commutativité, on ne démontre pas les propriétés de la symétrie par manque de temps, ...) et je vois ce travail comme une initiation à la démonstration.

    Belle journée à vous !
  • Tu démontres Thalès comment, avec les aires ? C’est difficile en quatrième.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Modifié (9 Apr)
    Très difficile (ça passe mal et personne n’y comprend rien). C’est aussi un « non sens » puisque Thalès n’a pas besoin de l’euclidien.
    La clé de la preuve que je connais c’est « on ne change pas l’aire d’un triangle lorsque l’on déplace son sommet selon la parallèle au côté opposé ».
  • C'est bien ça, ça me semble aussi très difficile.
    En partant de la clé de Dom, on démontre les égalités de rapports d'aires pour arriver à l'égalité des quotients. 
  • Dom
    Dom
    Modifié (9 Apr)
    À la limite, une preuve rapide avec l’euclidien : le cosinus de l’angle étant invariant, ça plie Thalès dans le cas où les droites sont perpendiculaire à un côté. 
    On généralise ensuite. 
    Édit : j’y pense… il faut alors ne pas démontrer/définir le cosinus en utilisant Thalès.
    Du coup, allez, avançons… : définir/démontrer le cosinus avec Pythagore. Ça, ça se fait, même si c’est un peu technique (calcul littéral). 
  • Je pensais justement utiliser Thalès pour démontrer l'invariance des cosinus qui vient après dans ma progression cette année.
    Mais je me dis que j'inverserais peut-être l'année prochaine, ton idée me plaît et me semble plus accessible.
  • Dom
    Dom
    Modifié (9 Apr)
    Oui, c’est comme ça que cela se fait le plus souvent [Thales => cosinus].
  • Ericpasloggue
    Modifié (10 Apr)
    Une question a J-flx : que démontres-tu à propos des angles alternes internes ? Une proposition et sa réciproque ou seulement une des deux. Je n'en démontre qu'une en 5e (si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure), les deux en 4e (après avoir traité en profondeur les cas d'égalité de triangles). Je démontre celle citée précédemment comme conséquence de l'autre qui n'est que la contraposée du théorème de l'angle extérieur (une conséquence pas immédiate du cas C-A-C).
    Une remarque à Dom : sans définition de ce qu'est le cosinus, tu vas dans un mur. Dans quelle axiomatique travailles-tu ? Hilbert ou équivalent ? Alors ton premier propos ressemble fortement à un raisonnement circulaire... La définition du cosinus ne repose pas sur Pythagore, mais sur un cas de similitude entre triangle, autrement dit un cas d'égalité et Thalès.
  • Je démontre seulement les propositions pas les réciproques. D'abord, les angles opposés par le somment ont des mesures égales, puis celle que tu indiques et enfin, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants formés ont des mesures égales.
    Mais je n'ai pas démontré les réciproques cette année : manque de temps, on avait déjà fait pas mal de démonstration et je n'avais pas introduit les triangles égaux qui sont un bon moyen de le faire.
    Mais ne pourrait-on pas faire sans en procédant ainsi.
    On trace la parallèle à une des droites passant par le point d'intersection de l'autre avec la sécante.
    Les droites étant parallèles, les angles alternes-internes ont la même mesure. Ainsi, les deux angles sont superposables avec un côté commun, donc les autres côtés sont confondus et, finalement, les droites sont parallèles.
    Ça fonctionne non ? 
    C'est avec cette méthode que l'on peut démontrer la réciproque du théorème de Pythagore en 4ème (et pas d'autres réciproques en géométrie)
  • Dom
    Dom
    Modifié (10 Apr)
    On considère un angle (sommet C). On construit des triangles rectangles comme sur cette figure. 
    On utilise Pythagore mais sans connaître Thalès. 
    On veut démontrer que b/a = (n+b)/(m+a) [ce qui permet de définir le cosinus de l’angle]. 

    Il me semble qu’on parvient à le faire.
    Notamment on ferme le rectangle BEDF (F sur le coté [AB]).
    On calcule AB de deux manières et on obtient « mb=na » ce qui conduit à ce que l’on veut après quelques calculs. 
    Remarques :
    • avec cette figure on démontre Thalès dans ce cas particulier que l’on peut généraliser ensuite
    • on peut exploiter le triangle ADF aussi…
    • les habiletés calculatoires posent problème, même en 3e et en 2nde
  • EtNonLesShills
    Modifié (10 Apr)
    Il y a 2 aspects dans les mathématiques pour les non mathématiciens, l'aspect pratique/concret et l'aspect langagier propre à la langue mathématique. Les pedagos ont obligé les professeurs à tout miser sur le premier et ne surtout pas s'aventurer sur le second rendant de ce fait la notion de preuve presque inatteignable à part peuttre parfois en géometrie où la figure fait figure (lul) de langage primitif.
  • stfj
    Modifié (10 Apr)
    Il y a une démonstration proposée par Terence Tao au début de son Analyse. Il s'adresse a priori au (très) haut du panier des étudiants américains mais pourquoi pas pour le "bas du panier" des élèves français : 
    **Définitions:**\begin{align*}1+1&:=2\\2+1&:=3\\3+1&:=4\end{align*}
    **Propriété_admise:** associativité de l'addition.
    **Démontrer que 2+2=4**
    $$2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4.\tag*{$\square$}$$
  • Dom
    Dom
    Modifié (10 Apr)
    On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication d’entiers. 
    Cas particuliers d’abord comme : 7+7+7=3+3+3+3+3+3+3
    On doit aussi démontrer quelques cas particuliers de la distributivité. 
    Tout ça pour, finalement, imprégner ces théorèmes sur l’addition. Je pense que c’est intéressant. 
  • stfj
    Modifié (10 Apr)
    \begin{align*}3+3+3+3&=(\color{red}1+\color{blue}1+\color{green}1)+(\color{red}1+\color{blue}1+\color{green}1)+(\color{red}1+\color{blue}1+\color{green}1)+(\color{red}1+\color{blue}1+\color{green}1)\\&=(\color{red}1+\color{red}1+\color{red}1+\color{red}1)+(\color{blue}1+\color{blue}1+\color{blue}1+\color{blue}1)+(\color{green}1+\color{green}1+\color{green}1+\color{green}1)\\&=4+4+4\end{align*}
    C'est cela, @Dom ? En effet, c'est intéressant.

  • Oui. La preuve « cas général » c’est cela avec des pointillés. On cache évidemment des axiomes mais c’est, je pense, pertinent. 
  • Ericpasloggue
    Modifié (10 Apr)
    Et si les triangles ne sont pas "emboités" ?
    Étant donné un triangle $ABC$ rectangle en $C$, il faut prouver que les rapports $\tfrac{AC}{AB}$, $\tfrac{BC}{AB}$ et $\tfrac{BC}{AC}$ ne dépendent pas des valeurs de $AB$, $AC$ et $BC$, mais seulement de la valeur de $\textrm{mes}(\widehat{A})$.
    Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles rectangles respectivement en $C$ et $C'$ tels que $\textrm{mes}(\widehat{A})=\textrm{mes}(\widehat{A}')$. Ces deux triangles vérifient la même condition de similitude A-A, donc ils sont semblables. Ainsi,
      \begin{equation*}
        \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}\cdotp
      \end{equation*}
      On en déduit que
      \begin{equation*}
        \frac{AC}{AB}=\frac{A'C'}{A'B'},\qquad
        \frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'},\qquad
        \frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}\cdotp
      \end{equation*}
    La question est donc de savoir comment démontrer le cas de similitude A-A (et donc au passage de voir comment est définie la notion de similitude de deux triangles).
  • Dom
    Dom
    Modifié (10 Apr)
    Si les triangles ne sont pas emboîtés, une symétrie axiale selon la bissectrice de l’angle doit suffire. 
    À quel endroit ma proposition souffre de quelque chose ?
  • Ericpasloggue
    Modifié (10 Apr)
    Elle souffre du fait qu'à aucun moment on ne sait quels sont les axiomes et définitions employés et donc à chaque ligne il faut se demander si un argument circulaire n'est pas caché dans ce que tu racontes.
    Je fonctionne avec https://www.ams.org/books/author-pages/mbk-47/MBK47IntroGeom_Revision2-0.pdf. On peut choisir tout autre système axiomatique équivalent.
  • Le lien ne fonctionne pas. Ouin.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • J’ai besoin de Pythagore (donc les axiomes qui permettent d’y parvenir). 
    J’ai besoin de la figure (géométrie contemplative). 
    C’est tout car ensuite ce n’est que du calcul algébrique. 
  • Ericpasloggue
    Modifié (10 Apr)
    Nicolas : J'ai corrigé le lien.
    Dom : et tu y ajoutes une la symétrie axiale, donc il va encore falloir s'assurer de deux trois bricoles en plus... et certainement encore quelques poussières planquées sous le tapis.
    J-Flx : La proposition "Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles. " ne nécessite pas l'axiome des parallèles. La proposition "Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure. " nécessite l'axiome des parallèles. Il vaut "peut-être" mieux démontrer la première citée avant la seconde et faire dépendre la seconde de la première plutôt que l'inverse. D'ailleurs, la proposition 27 du livre I d'Euclide vient avant la proposition 29 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html).
  • La symétrie axiale serait le seul reproche. Cela me va. La symétrie axiale, ça découle de l’euclidien et comme on travaille avec Pythagore, il n’y a rien de bien choquant. Sauf erreur je ne trouve pas le problème de l’argument circulaire. 
    Il n’y a « rien » dans cette preuve. 
  • Ton égalité mb=na découle bien d'un argument de similitude ? N'y aurait-il pas un "tout petit peu" de Thalès derrière cela ?
  • Ah ok. Je comprends du coup ton scepticisme. 
    Non, on utilise Pythagore dans les trois triangles rectangles. FAD, CDE et ABC. 
    Est-ce un problème d’utiliser les règles d’incidence des droites perpendiculaire ? Ça aussi ça me semble être partout dès que l’on a de l’euclidien. 

    $AF^2=m^2-n^2$. 
    $FB^2=DE^2=a^2-b^2$
    $AB^2=(a+m)^2-(b+n)^2$
    Ensuite on écrit que $AB=AF+FB$ et avec quelques élévations au carré, on arrive à l’égalité. 
    Cette figure aide à démontrer la similitude des triangles mis en jeu, le théorème de Thalès et que le rapport adjacent/hypoténuse est constant. 

    PS : pour moi ce sont les triangles égaux admis qui sont des choses « bien fortes » pour ensuite démontrer des « petites choses ». 
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