Démonstrations au collège et au lycée

Blazedell

Bonjour,
J'ai tenté cette année de démontrer quelques résultats présentés en classe. Avec plus ou moins de succès. C'est surtout le statut de la preuve qui me semble poser problème à la majorité des élèves. On fait une activité, les questions sont en général bien traitées mais au final quand j'annonce ce que l'on vient de prouver, ça ne semble pas percuter. Je me demande si admettre le résultat aurait eu le même effet sur son réinvestissement.
Si certains ont déjà tenté des démonstrations en classe et pouvaient me faire part de leur ressenti. Même si c'était il y a longtemps.

zeitnot

Moi, je ne fais d'activité ! Après un théorème, j'écris démonstration tout simplement le statut est clair. Est-ce que ça intéresse la majorité des élèves, je ne berce pas d'illusion. Après je pense qu'il est important de rappeler que les mathématiques sont la discipline de la démonstration.

Dom

On observe aussi des élèves qui « refont la démonstration » vaguement quand ils pensent utiliser le théorème démontré. 

C’est compliqué de rendre une preuve compréhensible à tous les élèves en même temps car ils ne sont pas disponibles en même temps. Pour d’autres choses, comme la répétition réside, lundi, mardi, mercredi… ça finit tôt ou tard par rentrer. Mais une preuve, en général, un prof ne la propose qu’une seule fois. Ainsi, des bribes restent, parfois RIEN, et en effet le statut de preuve n’est peut-être pas assimilé. L’autre critique déjà discutée est le fait qu’il n’existe aucune notion de théorie de la démonstration au collège, ni même de ce que sont les axiomes (les « admis » si on a peur du mot axiome). Mis à part l’élève vif et qui a le niveau, c’est vrai que les démonstrations ne portent pas leurs fruits. On peut ajouter que ce n’est pas grave…

gai requin

On a progressivement abandonné les preuves dans la secondaire.
Il n'y a pas si longtemps, il fallait démontrer tout ce qui était démontrable à ce niveau en S.
Depuis la reforme, au plus 2 preuves par chapitre (parfois 0 hein) sont pointées par le programme, y compris en maths expertes ce qui est un comble.

Matricule_63

La preuve est, bien souvent, assez peu éclairante sur la propriété prouvée, tout en étant difficile voire très difficile à comprendre.(ils ont déjà du mal avec "un cas particulier bien choisis suffit pour réfuter mais pas pour prouver")
Quel est son intérêt, pour un élève?

Durant tout le secondaire, les maths peuvent être vues comme une liste de propriétés données par le professeur, qui a forcément raison.
Les démonstrations ne touchent pas, de la même manière que citer une thèse pour "prouver" que tel fait historique c'est bien produit durant telle année n'intéresserait pas grand monde, tant qu'on a confiance en l'enseignant.

Caché derrière, l'une des raisons de l'importance de la démonstration en math : vu qu'on peut définir à peu près ce que l'on veut, et que ces choses n'ont pas forcément à voir avec le réel, il y a tellement d'univers mathématiques possibles qu'on ne peut s'appuyer sur le bon sens ou la sagesse collective.

Mais dans le secondaire, les maths sont présentés comme un système unique basée sur le réel, sorte de vérité générale qu'on peut de plus tester avec nos sens.

JLapin

Les démonstrations ne touchent pas,

Elles devraient... C'est en démontrant qu'on gagne des points dans un devoir noté ou à l'examen...

Et quoi de mieux que les démonstrations impeccablement rédigées par un professeur ou sous sa conduite pour apprendre les bonnes pratiques...

NicoLeProf

Bonjour,

Les inspecteurs nous poussent à faire des démonstrations dès le collège, à juste titre je trouve. Cependant, il est parfois compliqué de mettre en œuvre ces conseils car il y a une forte hétérogénéité dans les classes et de plus en plus d'élèves en décrochage ou ayant de grosses difficultés (sans pour autant parler de décrochage scolaire pour ces derniers).

J'ai tout de même fait quelques démonstrations cette année comme par exemple :

- quelques preuves sur les puissances en 4ème et en 3ème (quelques propriétés des puissances que je démontre pour des exposants positifs par exemple).

- Quelques preuves (oralement) sur les fractions notamment en 4ème (comme le fait qu'on ne puisse pas diviser par zéro par exemple).

- La preuve en 3ème de $\cos^2(\widehat{ABC})+\sin^2(\widehat{ABC})=1$ où $\widehat{ABC}$ est un angle aigu.

- Je pense aussi faire la preuve de la proportionnalité des accroissements en 3ème à la rentrée des vacances de Pâques (preuve de la formule donnant le coefficient directeur de la droite associée à une fonction affine).

- Et puis bien sûr des démonstrations d'arithmétique en 3ème : la somme de deux multiples de $3$ est un multiple de $3$ ou encore : la somme de deux entiers consécutifs est impaire, la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire etc.

- Je démontre aussi les identités remarquables en 3ème grâce à la double distributivité.

Pour motiver les élèves notamment en 3ème à écouter, écrire et comprendre ces démonstrations, je redonne certaines de ces démonstrations en DS (lors des gros contrôles) de manière guidée ou non. Et oui, je ne suis pas toujours sympathique mais je leur dis que faire des maths, c'est faire des exercices, des démonstrations et à l'écrit !

Chaurien

@zeitnot écrit  :  les mathématiques sont la discipline de la démonstration. Vérité de base, qui devrait aller de soi, et il est bien triste qu'on doive la rappeler. Hélas, @gai_requin note que l'on a progressivement abandonné les preuves dans le secondaire. C'est ce que j'ai constaté avec une de mes petites-filles quand elle était en Troisième, Thalès et Pythagore sans démonstration, ça m'a fait penser à notre Pappus.

Il fut un temps où l'on initiait les élèves à la démonstration dès la Cinquième, et surtout en Quatrième, en géométrie. Du moins, les élèves qui étaient capables de suivre et d'accord pour suivre. Espérons que cela reviendra.

Dom

Je pense que l’abandon est lié à l’hétérogénéité (c’est assez pudiquement dit…) mais aussi à la l’indisponibilité des élèves de 2024 selon les zones géographiques. 

On trouve tout de même un passage dans les programmes (2020) dont on pourrait se féliciter, je trouve. Désolé c’est un peu long : « La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l'activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais également mise au point d’un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances).

Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde. La démonstration, forme d’argumentation propre aux mathématiques, vient compléter celles développées dans d’autres disciplines et contribue fortement à la formation de la personne et du citoyen (domaine 3 du socle). L’apprentissage de la démonstration doit se faire de manière progressive, à travers la pratique (individuelle, collective, ou par groupes), mais aussi par l’exemple. C’est pourquoi il est important que le cours de mathématiques ne se limite pas à l’application de recettes et de règles, mais permette de mettre en place quelques démonstrations accessibles aux élèves. De nombreux résultats figurant dans ce programme peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d’autres, inaccessibles à la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le calcul qu’en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de choisir ceux des résultats qu’ils souhaitent démontrer ou faire démontrer, en fonction du niveau et des besoins de leurs élèves. Enfin, il vaut mieux déclarer « admise » une propriété non démontrée dans le cours (qui pourra d’ailleurs l’être ultérieurement), plutôt que de la présenter comme une « règle ». Une propriété admise gagne à être explicitée, commentée, illustrée.

En complément, dans le cadre du travail personnel soumis aux élèves, beaucoup d’exercices et de problèmes peuvent servir de support à la démonstration. De manière à encourager les élèves dans l’exercice de la démonstration, il est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la recherche de preuve et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme. »

Comme le dit Nico, c’est compliqué de faire adhérer une classe à ce moment « démonstration ». 

Blazedell

Merci pour vos retours.
Il est évident qu'on ne peut pas prouver toutes les propriétés présentées au collège et au lycée mais il me semble important de continuer à faire des démonstrations lorsqu'elles sont à la portée des élèves.

philou22

La première démonstration présentable au collège après avoir admis la caractérisation en termes de distance de la médiatrice est le concours en le centre du cercle circonscrit des médiatrices. C’est assez simple pour être largement compris, cela invoque la transitivité de l’égalité.

Dom

Justement, la transitivité n’est pas comprise parfois surtout quand elle est écrite comme ça : comme AO=OB et OB=OC, alors AO=OC. 
Par contre, le codage de deux segments, puis du troisième, ça plie le truc. Il y a de quoi s’interroger sur ce qu’est l’égalité pour l’élève. 

Autre évidence qui défie l’élève même si c’est lié aux fonctions, objets « compliqués » : 
quelle que soit la fonction $f$, si $a=b$, alors $f(a)=f(b)$. 

C’est caché dans « dans une égalité, on peut ajouter à gauche et droite le même nombre pour la conserver » ou toute autres phrases compliquées…
Je parle du thème « équations ». 

marc0075

Jadis,  on écrivait que deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles

(faire le parallèle si j'ose dire avec deux droites parallèles à une même troisième  sont parallèles entre elles ) .

Dom

Toutes ces phrases n’ont pas de sens pour la moitié d’une classe. Ils peuvent les apprendre par cœur mais ne les assimilent pas. 

gai requin

@marc0075 : Si $\vec d=\vec\Delta$ et $\vec{d’}=\vec\Delta$, alors $\vec d=\vec{d’}$.

Chaurien

@Dom

La moitié de classe incapable de comprendre les énoncés les plus élémentaires, c'est peut-être qu'elle n'a rien à faire là. Ces élèves seraient mieux dans une filière d'enseignement spécifique, plus adaptée à leurs goûts et capacités, dans leur intérêt et celui des autres. 

Hier j'ai acheté du cochon de lait pour faire cadeau à des amies africaines qui le voulaient pour fêter Pâques. Le jeune employé de la boucherie qui me l'a débité avait l'air tout à fait à son aise dans son travail. Je le soupçonne de ne pas savoir développer $(a+b)^2$ et d'ignorer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point dénommé orthocentre...

Vassillia

Bonjour,
Tu soupçonnes mal Chaurien, un pote qui a eu un doctorat de maths en même temps que moi est par la suite devenu boucher.  Est-ce qu'on peut laisser cette discussion sur les démonstrations faisables dans le secondaire avoir lieu ? Ou alors faut-il vraiment que tu fasses du hors sujet sur ce qui devrait selon toi être dans telle ou telle filière ? Sachant que le risque de fermeture augmente considérablement. Le commentaire sur tes amies africaines pour faire croire que tu n'es pas raciste m'a beaucoup fait rire mais ce n'est pas une raison, quel est l'intérêt de cette précision ?

jaybe

Il y a beaucoup de gens qui ont mis en évidence par leurs travaux les principaux obstacles liés à l'enseignement de la notion de preuve (disons depuis une bonne quarantaine d'années, si ce n'est davantage). C'est assez étrange que personne n'ait encore conseillé au posteur initial de lire Balacheff, ce qui est probablement l'une des choses les plus utiles à faire par rapport à son questionnement.

Cyrano

Les mathématiques contemporaines sont constituées autour des preuves mais, évidemment, l'histoire ne s'est pas écrite dans cet ordre.
A la base du développement mathématique, il y a avant tout des tâches qui s'imposent aux êtres humains (e.g. partager des terres agricoles) et qui nécessitent des techniques pour pouvoir être réalisées. (e.g. la technique du discriminant) La preuve quant à elle est là pour valider rationnellement la technique (i.e. assurer sa légitimité) et en même temps tester son champ d'opérationnalité (on étudie ce qu'il se passe en ajoutant ou retirant une hypothèse.)

Il n'est pas sûr que les mathématiques soient présentés de cette façon à l'heure actuelle. On constate que les tâches édifiantes (et non pas les faux problèmes concrets dont tout le monde perçoit le caractère ad hoc) ont disparus de l'enseignement secondaire. De plus la différence entre technique et preuve devient tenue comme le souligne Dom. La didacticienne E. Rouy avait pointé dans sa thèse que les pratiques enseignantes actuelles consistaient à se replier sur des techniques et des algorithmes de calcul, sans justification rationnelle. 

Le problème est profond et dépasse le cadre de "la baisse de niveau". Le manque de tâche édifiante proposée aux élèves existait déjà à l'époque des maths modernes par exemple. 

Personnellement je pense que le futur boucher a le droit d'avoir accès à des mathématiques utiles pour lui et qui lui permettent d'exercer sa rationalité, c'est à dire ce qui le différencie fondamentalement de l'animal. En revanche le rythme d'apprentissage et le programme doivent être largement adaptés. 

Soc

Je ne suis pas toujours d'accord avec @cyrano, mais pour le coup j'approuve tout ce qu'il vient de dire!

geo

Chaurien a dit :

@Dom. La moitié de classe incapable de comprendre les énoncés les plus élémentaires, c'est peut-être qu'elle n'a rien à faire là.

Bonjour Chaurien. Ce n'est pas de la faute de ces élèves, c'est celle de l'institution qui délite les programmes de primaire. Un enfant de cm2 fait en moyenne trois à quatre heures de math par semaine et six à huit heures de Français. Comment veux-tu qu'une fois en sixième, il soit à l'aise dans la maitrise du calcul élémentaire et de la compréhension des consignes ? J'ai fait du lycée et ensuite du collège où je suis depuis 16 ans, j'ai vu le niveau des entrants changer. C'est bien beau de proposer des plans math, des groupes de niveau, des chocs du savoir etc..., il faudrait peut-être identifier ce qui ne va pas et faire preuve d'honnêteté intellectuelle. On doit bien ça aux enfants !

Thierry Poma

Voici ce qu'en disait Bourbaki dans son premier traité :

C'est toujours le cas ! La Mathématique est la science de la conviction reposant sur le concept de démonstration.

gai requin

C’est aussi et surtout le niveau moyen en maths des profs du primaire et du secondaire qui a lourdement chuté. Quand on est bon en maths, on ne devient pas enseignant parce que le privé offre des ponts d’or depuis le début du siècle.

Même problème en info où l’on a ouvert Capes et agreg pour un recrutement désertique. Quel cador en info va se contenter d’un salaire autour de 2000€ mensuels pendant x années ?

Vassillia

Tu as raison gai requin et d'ailleurs on ne pratique plus (ou peu) de démonstration dans les cas que tu cites, le but principal est de trouver des résultats. On applique des résultats mathématiques ce qui reste tout de même des mathématiques, n'en déplaise à Bourbaki. 
Mais tout cela nous éloigne pas mal des démonstrations faisables au secondaire. On est reparti pour se lamenter sur la baisse de niveau sur des pages et des pages si on continue. Est-ce franchement constructif par rapport à la demande de l'auteur du fil ? 

biely

Dom a dit :

Autre évidence qui défie l’élève même si c’est lié aux fonctions, objets « compliqués » : 

quelle que soit la fonction $f$, si $a=b$, alors $f(a)=f(b)$. 

C’est caché dans « dans une égalité, on peut ajouter à gauche et droite le même nombre pour la conserver » ou toute autres phrases compliquées…
Je parle du thème « équations ». 

Entièrement d’accord avec une remarque cependant: Dans ces histoires de ’’on peut ajouter à gauche et à droite’’ on utilise sans le dire des équivalences et on est bien obligé de creuser un peu plus le thème des fonctions pour expliquer les raisons de l’inutilité de la vérification à la fin. 

nicolas.patrois

gai requin a dit :

Quand on est bon en maths, on ne devient pas enseignant parce que le privé offre des ponts d’or depuis le début du siècle.

Et je m’étonne que des gens qui nous bassinent avec l’offre et la demande n’ont toujours pas compris ça.

gai requin

@Vassilia : Pour te titiller, je commencerais par le calcul propositionnel booléen (dès la 4ème ?) avant de me lancer dans des preuves simples de géométrie euclidienne ou d’artithmétique introduites par quelques postulats.

AlainLyon

@Blazedel De mon expérience à Bac+5 : environ 1 étudiant /10 savait utiliser des connaissances de Licence ou à Bac+2 pour faire des preuves.

J'ai par ailleurs donné des cours de trigonométrie en CAP-BEP : j'e donnais la définition des fonctions trigonométriques comme rapport de longueurs dans un triangle rectangle. Par ailleurs il existe quantité de démonstrations géométriques du théorème de Pythagore (je connais un livre qui en recense 122) les élèves de CAP-BEP seraient en peine d'en donner $2$ mais cela me semble toujours avoir été le cas!

Vassillia

On serait sûrement d'accord gai requin, au moins pour le calcul propositionnel booléen (je ne comprends pas qu'il soit nécessaire d'attendre le supérieur alors que comme mathématiques pour l'informatique, c'est idéal) et l'arithmétique (il y a des raisonnements assez intéressants avec peu de prérequis)
La géométrie euclidienne moins convaincue mais c'est personnel, j'ai toujours trouvé ça hyper inintéressant jusqu'aux nombres complexes, et bien plus tard le tout matriciel.

lourrran

Je ne sais pas si je saurais donner 2 démonstrations du théorème de Pythagore. Il me faudrait en tout cas un peu de temps pour les construire (je choisis bien ce mot CONSTRUIRE).

gai requin

@Vassillia : Tu as une calculatrice dans l’âme 😉

Soc

@gai requin Que le niveau des enseignants baisse en même temps que celui des élèves, certes, mais c'est plus une conséquence qu'une cause. De plus, encore une fois, cette baisse n'a rien de spécifique aux mathématiques; en revanche c'est une discipline pour laquelle la mesure est assez facile et objective.

Pour ce qui est de la difficulté spécifique de la démonstration au collège/lycée, je reste persuadé qu'il faut définir les règles avant de demander aux élèves de jouer avec. Il me parait impératif de parler d'axiomes, de donner la structure d'une démonstration, de donner l'intérêt d'introduire des théorèmes, de dire la règle d'utilisation des théorèmes et seulement ensuite on peut exiger des démonstrations aux élèves. On ne peut présenter une démonstration sans savoir ce que l'on peut admettre et ce que l'on doit démontrer. J'ai pour ma part souvent perdu des points en me faisant refuser des "évident" ou des "donc" ou à l'inverse perdu du temps en démontrant des passages qu'on me présentait comme inutiles dans la correction.

La vraie difficulté n'est pas de démontrer, mais d'établir des règles claires. La seule solution satisfaisante serait de donner une liste exhaustive des théorèmes sensés être sus à chaque niveau. Personne ne le fait, c'est dommage.

OShine

Je fais plein de démos au collège.
Récemment, j'ai démontré en 4ème que $(-a)^{2n}=a^{2n}$ et $(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}$.

Soc

As-tu auparavant démontré la règle des signes?

AlainLyon

@Blazedell Il faudrait s'entendre sur le terme prouver. Au collège j'appelle preuve une proposition qui se déduit d'un ensemble fini d'affirmations supposées vraies et non contradictoires : j'appelle cela un système fini d'axiome non contradictoire ce qui est un terme pompeux mais je n'en connais pas d'autre. 

L'ensemble est fini parce que je dispose au tableau ou sur un polycopié d'un espace fini, ou à l'oral d'un temps fini. 

Les abstractions ensemble du type ensemble infini d'axiomes ont été de tout temps pas du tout à la portée des élèves de l'age des collégiens, on peut cependant les concevoir si on s'intéresse au sujet à un age plus mûr.

Ludwig

Une démonstration n'est-elle pas locale, c'est-à-dire relative à un environnement ? D'abord à un environnement social : j'ai récemment "prouvé" (je mets entre guillemets, pour vous), avec une classe de quatrième, que $a^na^m=a^{n+m}$, à l'aide d'un exemple numérique. Ensuite à un environnement axiomatique, mais là c'est plus une affaire de spécialistes. Dans les deux cas il faut s'adapter.

Dom

Beaucoup de récurrences « évidente/«  sont des (vraies) récurrences et donc ces preuves sans principe de récurrence ne sont pas valides. Pour les puissances, déjà, la récurrence est sous-jacente. 

Cela dit, oui, on peut convaincre un collégien qui connaît son cours que c’est formules sont vraies.  

Blazedell

@AlainLyon : En effet, c'est ce que signifie à mon sens " prouver ". Les preuves dont je parle sont surtout celles concernant les théorèmes du secondaire. De mon côté, je ne parle pas d'axiomes au collège mais cela ne semble pas poser problème. Les fameux axiomes sont finalement assez intuitifs pour les élèves. Si je parvenais à définir le "bon sens" je dirais que c'est du bon sens.  Je ne le dis pas.

Ludwig

Et tu as bien raison @Blazedell ! Il est plus productif de montrer à quel point, parfois, notre "bon sens" produit du n'importe quoi. Au fond, plus que démontrer à tout prix, il s'agit je crois de corriger des idées toutes faites, et d'indiquer des méthodes ou des façons de voir les choses qui, elles, convergent et se cristallisent sur quelques points. Bise à tout le monde.

Dom

Démontrer c’est parvenir à convaincre quiconque accepte les règles (du jeu). 

Soc

@blazedell: On peut parler d'axiomes sans pour autant les donner explicitement.  Par exemple en disant que pour démontrer des théorèmes il faut d'autres théorèmes. C'est alors le problème de la poule et de la poule, sauf qu'ici on a une réponse à apporter: les axiomes! On leur dit que le but n'est pas de tout reprendre depuis le début, mais juste de comprendre le principe d'un théorème (une démonstration qui a déjà été faite pour ne plus avoir à la refaire), puis de leur utilisation (il faut vérifier que l'on a les bonnes conditions d'application). Je ne dis pas que tous les élèves savent ensuite faire des démonstrations, mais au moins ce n'est plus un mot obscur.

Dom

Oui. C’est une initiation. La majorité des démonstrations dont on parle au collège sont faites de : « A et A => B » donc « B ».
La géométrie, c’était le langage. Un langage avec des mots mais aussi avec des images. C’était pratique pour l’initiation à la démonstration. 

J’utilise l’imparfait car même si le texte que j’ai fourni loue « la démonstration au collège », en l’état, sauf dans des endroits privilégiés (pas uniquement par l’aspect financier), ce n’est plus vraiment fait. Comme cela a été discuté maintes fois, pour des causes diverses et notamment des causes qui font que les profs, en majorité, n’insistent pas sur la géométrie. 

Ce fil peut être permettra de relancer l’envie à des professeurs du secondaire. 

Juste faire de l’initiation. Des petits pas. Des petites choses. Avec juste : « A et A => B » donc « B ». Ça peut valoir le coup de se lancer sans trop d’ambition mais avec des petits objectifs. 

OShine

Soc a dit :

As-tu auparavant démontré la règle des signes?

Je l'ai énoncé dans le chapitre 1 sur les nombres relatifs sans démonstration. 
Je ne savais pas qu'on pouvait démontrer la règle des signes.

nicolas.patrois

Si, elle découle de la distributivité.

pldx1

Bonjour,

Vous voulez "faire des démonstrations". Parce que vous voulez démontrer que vous "faites des mathématiques". Et cela en prétendant que  "faire des mathématiques" c'est "faire des démonstrations". C'est exactement la recette des yaourts industriels. On met des morceaux de glub dans la sauce, et un poster de laitière sur le paquetage. Il en résulte des gamins gras du bide. Mais tant que l'on fournira une pareille malbouffe, le résultat ne s'améliorera pas. 
Les mathématiques, cela consiste à faire des prévisions qui ne seront pas démenties par l'expérience. Construire des ponts qui ne s'écroulent pas. Construire des maisons qui ne seront pas inondées. Prévoir si la nouvelle armoire frigorifique pourra être installée dans la boucherie du boucher de Chaurien. On veut installer une armoire qui fait $2m \times 80cm \times 40cm$. Quelles sont les contraintes ?

Un autre exemple. On voit bien que l'ellipse est tangente au cercle. 



Alors on le démontre.. Et on bouge le point $C$, ce qui donne



On pourrait sauver les phénomènes en disant "il plait à Dieu qu'il en soit ainsi dans le premier cas, et il plait à Dieu qu'il en soit autrement dans le deuxième cas". Mais il plait à Voltaire de ne pas croire en ce genre de stupidités.  Enseigner la pratique des démonstrations, cela consiste à suivre à la trace le processus... et à comprendre pourquoi "une surprise s'est encore produite". Et à déterminer quelle meilleure pratique produira une meilleure prévision.  

En résumé, il faut une situation suffisamment simplifiée pour être accessible au public visé... et suffisamment complexe pour qu'il y ait nécessité de prouver quoi que ce soit. Un grand vide et des morceaux de "con jecte hure", cela ne fait pas l''affaire.

Cordialement, Pierre

Dom

Des sarcasmes, très bien. 

Mieux on donne des leçons maintenant « tant que … ». 

Toujours par des gens qui ne font pas le boulot. 

Les profs doivent être ravis de lire ce genre de « truc ». 

gai requin

@pldx1 : C’est bien ton droit de pratiquer l’empirisme mathématique mais ces enfants gras du bide détestent généralement l’informatique active encore plus soumise à la règle du jeu.

Ce qui ne veut pas dire qu’ils raffolent des gaudrioles bourbakistes…

lourrran

Il y a une part de vrai dans ce que dit pldx1.

Par exemple, quand OShine dit qu'il fait plein de démos au collège et qu'il a démontré récemment telle propriété, je me demande vraiment s'il fait ça pour sa formation à lui, s'entraîner à faire des démonstrations, ou pour le bien des élèves.
Pour rappel, il nous dit par ailleurs que ses élèves ne comprennent rien à rien. Comprendre quelque chose à un cours donné par Oshine, à mon avis, ça tient du miracle.

Je sais, Oshine n'est probablement pas représentatif des profs, mais forcément, ce qu'il écrit exaspère un peu le lecteur.

Pour moi, quand on parle de preuve ou de démonstration au collège ou au lycée, je pense 'identités remarquables'.

$(a+b)(a-b)$ ... on fait le calcul, on constate que des termes s'annulent, on arrive à $a^2-b^2$ ; on a prouvé que ces 2 termes $(a+b)(a-b)$ et $a^2-b^2$ sont toujours égaux (à condition que la multiplication soit commutative mais on ne va pas embarrasser nos élèves avec ça).

On a démontré une certaine formule, et on demande aux élèves de retenir cette formule, parce que c'est un investissement rentable. Si on la retient, on économise plein d'efforts. 
Si on est paresseux, c'est rentable de retenir cette formule, ainsi que les autres identités remarquables au programme.

Je ne sais pas à quel moment on apprend ces identités remarquables, mais dans un cursus progressif, la toute première démonstration que je ferais aux élèves, c'est celle-ci, c'est une démonstration qui me paraît particulièrement accessible. Et j'y passerais pas mal de temps, pour introduire le concept de 'démonstration'. En insistant bien sur le fait que c'est un résultat qu'on vient de démontrer, et qu'il faut retenir. Et en leur disant que régulièrement, ils auront d'autres théorèmes à apprendre. D'autres résultats qu'on peut démontrer, et qu'on a tout intérêt à retenir parce que ça prend moins d'énergie de retenir tel résultat plutôt que le redécouvrir/redémontrer à chaque occasion.

pldx1

Remarque pratique.
L'identité $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ne sert à rien. C'est l'identité $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ qui est utile. Tant que l'on se limite à contempler les choses, les deux identités sont identiques... et totalement inutiles. Lorsque l'on veut passer à l'acte, c'est le sens "factorisation" qui fournit une valeur ajoutée. Les fois où c'est le sens "développement" qui est efficace, eh bien, il suffit de développer !

Cordialement, Pierre.

Dom

Bonne remarque. 

Le « = » n’étant pas bien défini, c’est comme ça, il a des « valeurs » en petite section qui ne sont pas les mêmes par la suite. On doit déconstruire, etc.
Beaucoup d’identités sont utiles plutôt dans un sens que dans l’autre. Parfois les deux, avec les fractions notamment (simplifier, mettre au même dénominateur). 

Je pense qu’il peut être profitable d’écrire les deux avant d’ajouter « en fait c’est la même chose ». 

kolotoko

Bonjour,
je ne suis pas tout à fait d'accord avec pldx1à propos de l'identité qui ne sert à rien.
Je la trouve  utile pour faire du calcul mental.
Bien cordialement.
kolotoko