Primitive de f(x)=0

Lazare
Modifié (1 Apr) dans Collège/Lycée
Bonjour.

Je me pose la question de savoir s'il existe une preuve que les fonctions $f(x)=k$ ($x$ et $k$ des réels) sont les seules forme de primitive de la fonction $f(x)=0$ ($x$ réel) et qu'il n'en existe pas d'autres formes.

Edit:
la reformulation faite par zygomathique ci-après me convient:

"""les fonctions (affines) constantes sont-elles les seules primitives* de la fonction nulle ?"""

*Je rajoute "sont elle les seules primitive parmis les fonctions algébriques"

Note: les fonctions du genre f(x)=|x| et qu'on ne peux pas obtenir via les opérations mathématiques de base + * et leur réciproques sont ce que j"appelle les "fonctions non algébriques"

Réponses

  • zygomathique
    Modifié (31 Mar)
    Salut
    des lettres f qui désignent deux fonctions différentes ... pas très clair ...
    ensuite :smile:
    a/ x est une variable muette et tu peux y mettre n'importe quel symbole pour désigner la notation de la variable de la fonction f
    b/ dans l'écriture f(x) = k et même si tu précises k est un réel il n'y est pas dit que k est unique
    c/ enfin les fonctions $ x \mapsto 2$  et $x \mapsto e^\pi$ sot deux primitives de la fonction (nulle) $ x \mapsto 0$
    la formulation de ton pb aurait plutôt du être : les fonctions (affines) constantes sont-elles les seules primitives de la fonction nulle ?
    maintenant si je te donne la fonction f définie sur $ [-2, -1] \cup [1, 2] $ par $ f(x) = \dfrac {|x|} x$ :smile:
    cette fonction est-elle dérivable ? quelle est sa dérivée ? est-elle constante ?

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @zygomathique
    a/ je ne comprends pas très bien ce cela apporte de dire ça.
    b/ k symbolise un réel quelconque. Cela peux être tout les réels possibles.
    c/ et bien $e^π$ est un réel donc f(x)=e^π appartient aux fonctions $f(x)=k$
    Ta reformulation est juste.
    Pour ton exercice laisse moi un peu de temps :)
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @zygomatique
    Pour l'exercice:
    -Je dirais que oui la fonction est dérivable sur le domaine définition que tu donnes. 
    -sa dérivée est g(x)=0
    -je ne comprends pas ce que tu veux dire par dérivée constante.
  • @zygomathique ne te demande pas si la dérivée est constante, mais si la fonction de départ qu'il donne l'est.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @zygomatique
    -ok pour la question 3 de l'exercice(merci zeitnot), la fonction n'est pas constante.
    P.S. j'ai édité le post de départ et rajouté une précision.
  • JLapin
    Modifié (31 Mar)
    Si $f$ est dérivable de dérivée nulle sur un intervalle, alors $f$ est constante.
    Sinon, $f$ est "seulement" constante par morceaux.
    C'est tout ce que tu as à retenir : tes histoires de fonctions algébriques ou non n'ont pas beaucoup de sens d'un point de vue mathématique.
  • Tout de même, ce que @Lazare appelle fonctions algébriques ressemble diablement aux fonctions polynomiales ou, si on autorise les divisions (une espèce de réciproque de la multiplication), aux fractions rationnelles. Cela a un sens et c'est intéressant -- même si la formulation initiale est perfectible...
  • Dans ce cas, effectivement, toutes les fonctions polynomiales ou rationnelles de dérivée nulle, sur un intervalle ou pas, sont constantes.
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @JLapin
    "toutes les fonctions polynomiales ou rationnelles de dérivée nulle, sur un intervalle ou pas, sont constantes."
    Ok, mais je cherche une preuve qui pourrait confirmer cette affirmation.
  • Tu pourrais essayer de la rédiger, même sur un exemple.
    Par exemple, soit $P$ un polynôme réel. On suppose que $\forall x\in \R^*, P'(x)=0$.
    Essaye de montrer que $P$ est nul.
    Indice : si tu as suivi un cours sur les polynômes, c'est assez simple.
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @JLapin
    heu mais $P$ ne me semble pas forcément nul.
    Je n'ai pas suivi de cour sur les polynômes ou alors il y a fort longtemps.
  • Pardon, que P est constant !
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @JLapin
    Du coup est-ce que tu aurais un lien vers une vidéo ou un texte du cours sur les ploynômes auquel tu fais référence ?
    Franchement je ne suis pas trop intéressé par suivre un jeu de pistes. Si tu penses avoir la preuve que je cherche, je préférerais que tu me la donnes cash.
  • Dom
    Dom
    Modifié (31 Mar)
    Je n’ai lu qu’en diagonale : le théorème des accroissements finis n’est-il pas suffisant ? 
    Ai-je loupé une subtilité dans la question ?
  • Titi le curieux
    Modifié (30 Mar)
    Pour la réponse de Dom, oui, mais je ne suis pas sûr que la définition utilisée par Lazare soit si claire. 

    En ce qui concerne la question rapportée aux fractions rationnelles, ça se fait en deux temps.
    Premier temps prouver qu'un polynôme de degré $n$ a au mieux $n$ racines. Pour ça il faut commencer par le fait que l'anneau des polynôme est euclidien s'en servir pour montrer des trucs comme si $a$ est racine de $P$ alors $X-a$ divise $P$, savoir qu'un produit d'inversible n'a aucune chance d'être nulle à la fois pour s'en servir comme une sorte de lemme de Gauss et aussi pour conclure sur l'unicité des racines d'une décomposition. 
    Pour le cas des fraction rationnelle, si on a $P/Q= a$ sur un intervalle avec $P$ et $Q$ des polynômes et $a$ une constante on a $P-aQ$ un polynôme qui est nul sur l'intervalle. 
  • Franchement je suis pas trop intéréssé par suivre un jeu de pistes. Si tu pense avoir la preuve que je cherche, je préfererais que tu me la donne cash.
    Ce serait hors charte de te donner la réponse. Sinon, pour rester dans la charte, tu pourrais présenter le contexte de ta question ainsi que ton niveau d’étude. Il y a en effet une foultitude de façon d’y répondre…
    Pour finir, ta première phrase citée sonne comme « va te faire voir avec tes indications foireuses, tu me prends pour un boy scout ? » et c’est très désagréable à lire.
  • Lazare
    Modifié (31 Mar)
    @JLapin

    Ok j'avais oublié cet aspect de la charte.
    Le contexte de ma question ne devrait pas apporter beaucoup au probleme. J'ai un niveau lycée. Une façon d'y répondre qui m'interesserais serait par le calcul.
    Excuse moi pour ma remarque, c est juste que j'ai l'habitude de gens qui me font mirroiter une solution qu'ils conaissent soit disant alors qu'ils ne font que parler chinois. Ca me fait perdre une energie folle. 
  • zygomathique
    Modifié (31 Mar)
    @JLapin : il me semble qu'il faut un intervalle quand même : 

    la démonstration de @Titi le curieux montre qu'avec $[-1, -2] \cup [1, 2] $ je peux trouver des réels distincts a et b tels que $P/Q = a$ sur le premier intervalle et $P/Q = b$ sur le deuxième intervalle

    ce me semble-t-il ...

    @Lazare : j'ai écrit $ f(x) = x/|x| $ pour dire f(x) = -1 sur [-2, -1] et f(x) = 1 sur [1, 2]

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • JLapin
    Modifié (31 Mar)
    Pas besoin d'intervalle pour le cas d'une fonction polynomiale :  si un  polynôme $P$ vérifie $\forall x\in [-1,-2]\cup [1,2], P'(x)=0$, alors $P'$ possède une infinité de racines, donc...
    Et pour les fractions rationnelles, c'est le même principe.
  • Lazare
    Modifié (1 Apr)
    @JLapin
    "Essaye de montrer que $P$ est constant."
    J'essaye bien mais je galère. Je ne vois pas un rapport avec des polynômes.
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Bon, c'est quelque chose que j'aurais pu faire avec mes élèves de première brevet de technicien (donc lycée, mais ne préparant pas un bac) autrefois. 
    Comme $P'$ est un polynôme ayant une infinité de racines, il est nul (un polynôme non nul a un nombre fini de racines, inférieur ou égal à son degré).
    La dérivée du polynôme non nul, de degré $n\ge 1$ (condition nécessaire pour dériver le terme de plus haut degré) $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \dots+a_1x+a_0$
    est $n a_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots+a_1$,
    qui est un polynôme non nul (voir son terme de plus haut degré). Donc $P$ est de degré 0, c'est-à-dire un polynôme constant.
    Cordialement.
  • AlainLyon
    Modifié (1 Apr)
    @Lazare T'a-t-on enseigné les intégrales comme surface de ce qu'il y a sous une courbe en faisant un dessin et en l'approchant par des réunions de trapèzes puis en calculant des sommes plus ou moins compliquées (en bref par des sommes de Riemann) 
    ou en écrivant que par un "grand mystère" intégrer c'est trouver des primitives (la primitive de $1/x$ qu'est-ce cela peut bien être ? À moins d'être John Napier scientifique de haut niveau de son époque, aucun élève de Terminale n'est en mesure de le découvrir et d'ailleurs ne l'a jamais été !
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @gerard0

    Qu'est ce que $n$ ?
  • Lazare
    Modifié (2 Apr)
    @AlainLyon

    Je crois que la primitive de $\frac{1}{x}$ est $ln(x)$ je crois l'avoir entendu quelque part.

    Reste à savoir si John Napier l'as découvert en terminale lui mème.
  • gerard0
    Modifié (3 Apr)
    Lazare
    Je ne répondrai pas à ta question "Qu'est ce que $n$ ". Tu as montré sur un autre fil que tu demandes aux autres de faire le travail de compréhension à ta place en expliquant tout, y compris à propos des notions élémentaires. Et tu montres ici que tu parles facilement de choses que tu ne connais pas. Tu parles ici de primitives alors que tu ne connais pas les bases mathématiques de collège.
    Je n'ai pas pour habitude d'encourager la fainéantise intellectuelle, si tu veux savoir apprends les maths dont tu parles sans rien y connaître.
    Je réponds simplement à ta question de départ : " savoir s'il existe une preuve que..." : Oui, il en existe, et tu peux les trouver sur Internet. Débrouille-toi seul (par exemple, pour savoir ce qu'est $n$, lis un cours sur les polynômes), tu grandira un peu.
  • zygomathique
    Modifié (3 Apr)
    Et je rajouterai :
    @l@Lazare
    Je crois que la primitive de $ \dfrac 1 x $est $\ln (x)$ je crois l'avoir entendu quelque part.
    en mathématiques on sait ou on ne sait pas et si on ne sait pas on ouvre un cours pour être certain de pouvoir affirmer (indépendamment d'une erreur éventuelles de raisonnement) ou infirmer
    et cette affirmation est fausse ; depuis la terminale (et grâce au cours de première sur les dérivées) on sait que si une fonction admet une primitive alors elle en admet une infinité ..

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Lazare
    Modifié (3 Apr)
    @gerard0
    Au un problème. Tu es libre de me répondre ou pas.
  • N'importe comment tu ne tiens aucun compte de ce qu'on te répond. 
  • Pourquoi préciser sans cesse aux gens qu’ils ont le droit de répondre ou bien le droit de ne pas répondre ?
    Essayes-tu de concurrencer un quelconque « ChatGPT » ?
    Tu as eu des réponses, plusieurs, et quand elles sont différentes, elles sont complémentaires. 
    Alors on voit bien que tu t’appliques sans cesse le principe « j’ai le droit de les lire ou de ne pas les lire », mais le problème, c’est que ça se voit. 
    Une remarque : quand j’utilise le verbe « lire » je ne parle pas de la « lecture déchiffrage des sons » mais bien de « la lecture en compréhension ». 
    Bonne lecture. Lecture que tu as toi-même rendu difficile avec toutes tes sortes d’accusations puériles. 
  • AD
    AD
    Modifié (3 Apr)
    Puisque l'on a le droit de ne pas répondre (sic) !
    Alors il est inutile de continuer cette discussion.
    AD
    PS. De toute façon, il est inutile de te disperser. Cette discussion ne peut être utile qu'après que tu aies démêlé tes problèmes avec ton autre discussion
    https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2473666/#Comment_2473666
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