Points de ramification d'une fonction de deux variables

Bonjour,
L'expression $Pdx + Qdy = \frac {2xydx + (1 - x^2)dy} {(1 - x^2)^2 + y^2}$ est une différentielle totale exacte, dont l'intégration donne (sauf erreur de ma part) $F(x, y) = \tan^{-1}( \frac {x^2 - 1} y) + C$.
On me demande de déterminer les points de ramification de $F(x, y)$ et les périodes correspondantes.
Pour les points de ramification, je pense qu'il s'agit de $(\pm 1, 0)$.
Pour les périodes, j'ai cru comprendre qu'il fallait calculer $\int Pdx + Qdy$ le long d'un petit cercle entourant les points de ramification...
Est-ce que quelqu'un s'est déjà frotté à ce genre de problème ?
Gardez le moral !...
Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

Réponses

  • Bonjour,
    Ben non ta différentielle n'est pas exacte ...
  • En différentiant $F(x, y)$, on retrouve nez en moins l'expression initiale.
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • $F$ n'est pas définie pour $y=0$. Ta forme différentielle n'est pas une différentielle exacte sur $\R^2\setminus \{(1,0),(-1,0)\}$. Si c'était une différentielle exacte, il n'y aurait pas de période !
  • Je me suis basé sur l'énoncé, tiré de mon Deltheil favori (page 84 du tome II de l'édition 1957).
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • L'énoncé ne dit sûrement pas que la différentielle est exacte !
  • Piteux_gore
    Modifié (31 Mar)
    L'énoncé exact est :smile:
    ---
    Montrer que l'expression $Pdx + Qdy = ...$ est une différentielle totale exacte.
    Intégrer cette différentielle totale ; déterminer les points de ramification de la fonction $F(x, y)$ et calculer les périodes correspondantes.
    ---
    À tantôt
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • "Une 1-forme $\omega$ définie sur un ouvert $U$ est exacte s'il existe une fonction $F$ différentiable sur $U$ telle que $\omega = dF$."
    Quel est ton $U$ ?
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