Propriété d'Archimède

Amadou
Modifié (30 Mar) dans Analyse
Il y a longtemps, que j'ai appris cette propriété d'Archimède* dans l'un de mes manuels de L1, mais maintenant je viens de tomber sur une autre définition qui me semble ouf. Mais franchement d'après mon instinct, je sens que je devrais me méfier de cette deuxième formule. Est-ce qu'il y a un lien entre les deux formules ? Et je ne comprends pas pourquoi est-ce qu'on utilise "$\leqslant z+1$" ? 

Voilà ce qui m'a poussé à poser cette question, si je suppose que $z\leqslant x$, et que $x \leqslant z+1$, alors je peux en conclure que $z \leqslant z+1$. Ça voudrait dire que $z$ est infini si $z=z+1$. Est-ce que c'est correct ?


Et je ne comprends pas non plus pourquoi, il est dit Théorème ? N'y a-t-il pas une différence entre théorème et proposition ?

* Proposition : Soient $a, b$ deux entiers, on suppose $a>0$. Il existe un entier $n$ tel que $na > b$.


« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • zeitnot
    Modifié (30 Mar)
    "Voilà ce qui m'a poussé à poser cette question, si je suppose que $z⩽x$, et que $x⩽z+1$, alors je peux en conclure que $z⩽z+1. $ "
    Bien sûr par transitivité.
    "Ça voudrait dire que z est infini si $z=z+1$. Est-ce que c'est correct ? "
    Non, ça ne permet de conclure ça, je ne vois pas comment d'une inégalité tu passes à l'égalité.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • 1)
    Il n'y a aucun lien entre ces 2 propositions. Euler, Fermat ont découvert beaucoup de choses en mathématiques, il y a plusieurs propriétés ou théorèmes qui portent leurs noms, Idem pour Archimède. Pour moi, Archimède est connu surtout pour un résultat totalement autre, en physique et non en maths.

    2)
    Les histoires d'infini. Laisse tomber, c'est compliqué. Tous les profils comme toi qui essaient de se remettre aux maths sont fascinés par quelques notions complexes (l'infini par exemple), et se trompent systématiquement dès qu'ils emploient ces mots dans des phrases.
    Ecrire 'z est infini', il y a des rares environnements où cette phrase peut avoir un sens, mais dans une scolarité normale, 99% des étudiants n'attaquent jamais les chapitres en question. On est dans le supérieur-supérieur.
    Dans nos environnements à nous (l'environnement collège, lycée, licence...) , on n'écrit jamais z est infini. On écrit éventuellement "quand z tend vers l'infini ..."

    3) La phrase coloriée en orange : Pour tout réel x , il existe ... 
    Cette phrase est correcte, mais commencer un article sur la partie entière par cette phrase, c'est un début assez bizarre. Je me demande comment ce bouquin peut s'en sortir à la phrase suivante pour définir la partie entière. Selon la suite, j'ai envie de dire que ce bouquin est très bien, ou très mauvais.
    Cette propriété est appelée Théorème d'Archimède ? .. peut-être. Je pense que tous les mathématiciens connaissent cette propriété, mais pour eux, cette propriété n'a pas de nom.

    4) Différence entre proposition et théorème.
    La différence est minime. En gros, le mot théorème est plus noble. Un théorème, c'est une propriété importante, démontrée.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • lourrran
    Modifié (30 Mar)
    Dans l'autre discussion, tu as posté la suite de cet extrait du livre : 
    Pour tout réel $x$ il existe deux entiers $n$ et $n+1$ tel que $n\le x \le n+1$ ; Le nombre entier $n$ est appelé la partie entière noté $\lfloor x \rfloor$ du réel $x$.
    Cette définition est fausse. 
    Change de livre.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Chaurien
    Modifié (30 Mar)
    La propriété d'Archimède qui est en cause ici, la voici. Soit un corps ordonné $K$ dont on note $0_K$ l’élément nul et $1_K$ l'élément-unité. Ce corps $K$ est dit archimédien si pour tout $x \in K, x>0_K$ et  pour tout $y \in K, y>0_K$,  il existe $k \in \mathbb N$ tel que $kx>y$. 
    On utilise alors le bon-ordre de $ \mathbb N$, qui dit que toute partie non vide de $ \mathbb N$ admet un plus petit élément, et il existe donc un plus petit $k$ dans l'assertion précédente. 
    En conséquence, pour tout $x \in K$, il existe un seul $m \in \mathbb Z$ tel que : $m \cdot 1_K \le x <(m+1)1_K$. Cet entier $m $ est la partie entière (plancher) de $x$, comme on a vu dans un autre fil.
    Je me suis placé dans un corps ordonné parce que c'est le bon cadre pour cette question, mais si c'est exagéré, on peut rester dans $\mathbb R$, qui est un corps ordonné archimédien, et tout ce que j'ai dit s'y applique.
  • Soyons prudents (je le dis pour moi aussi bien sûr) : sur cette partie COLLÈGE-LYCÉE, on se doit de ne pas être trop abrupt. Ce qui n’enlève rien à la rigueur. 
  • Amadou
    Modifié (30 Mar)
    zeitnot a dit :
    ..., je ne vois pas comment d'une inégalité tu passes à l'égalité.
    Si $z\leqslant z +1$, alors $z=z+1$ et $z < z+1$, non ! J'ai omis le cas où $z < z+1$ car il est vrai pour tout entier $z$ (d'ailleurs pour tout réel $z$). Mais si $z=z+1$, pour que la condition soit vérifiée, il faut et il suffit que z tende vers l'infini, c'est à dire le cardinal de $z$ tende vers l'infini.
    zeitnot a dit :
    Non, ça ne permet de conclure ça, ...
    Ok !
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (30 Mar)
    lourrran a dit :
    2)
    Les histoires d'infini. Laisse tomber, c'est compliqué. ...
    Dans nos environnements à nous (l'environnement collège, lycée, licence...) , on n'écrit jamais z est infini. On écrit éventuellement "quand z tend vers l'infini ..."
    J'ai bien noté !
    lourrran a dit :
    Dans l'autre discussion, tu as posté la suite de cet extrait du livre : 
    Pour tout réel $x$ il existe deux entiers $n$ et $n+1$ tel que $n\le x \le n+1$ ; Le nombre entier $n$ est appelé la partie entière noté $\lfloor x \rfloor$ du réel $x$.
    Cette définition est fausse. 
    Change de livre.
    Oui tout à fait il s'agit du même manuel ! D'ailleurs en remarquant cette erreur que j'ai dit demander de me faire des recommandations de manuels pour ne pas apprendre dans des erreurs puisque dans l'autre fil on m'a bien fait savoir qu'on a $n\leqslant x < n+1$ avec $\lfloor x \rfloor=n$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Merci beaucoup, @Chaurien, pour avoir approfondi un peu les choses ! J'ai enfin obtenu la réponse que je cherchais, merci à vous tous.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • @Dom : Je crois surtout qu’aucun des sujets ouverts par Amadou (hormis sur les manuels du secondaire) n’a sa place dans ce sous-forum, d’autant plus qu’Amadou n’est ni collégien, ni lycéen.
  • Amadou
    Modifié (30 Mar)
    Oui c'est vrai, je ne suis ni collégien, ni lycéen. Mais ça ne vous paraît pas bizarre j'ai appris la définition d'une partie entière il y a seulement un jour ? On parle de mon niveau de compréhension. 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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