Un contre-exemple qui tombe mal ?

UItraviolet

Bonjour à tous
Voici un exercice qui arrive au tout début d'un cours, et qui devrait donc normalement relever du domaine de l'immédiat, mais voilà je bloque et je trouve le résultat inverse.

Si je prends la direction donnée par le vecteur non nul $u = (a,b)$ il y a deux cas : 

Cas 1: $a=0$
Dans ce cas, $ \forall t \in \mathbb{R^{*}}$, $f(tu)=0$, qu'on dérive facilement et qui nous donne $f_{u}^{'}(0,0)=0$

Cas 2: $a \neq 0$
Dans ce cas, $f(tu) = (tb)^2\ln(\left| ta\right|)$, en formant le taux d'accroissement et par croissance comparée on trouve que la limite vaut $0$, soit $f_{u}^{'}(0,0)=0$

Bref, quelque soit le vecteur de $\mathbb{R^{2}}$ que je prenne pour direction, je trouve une dérivée nulle. Ce qui semble jusqu'alors aller dans le sens du premier point n'est-ce pas ? (modulo les erreurs de calculs que j'ai pu faire.)

En revanche pour prouver la non-continuité en $0$, comment s'y prend-on ? J'ai essayé de choisir de me placer le long d'une courbe qui passe par $0$ mais je ne trouve pas le bon exemple. J'ai aussi essayé de majorer la valeur absolue de l'expression de $f$ par une expression faisant apparaître la norme, mais là encore c'est infructueux.
Merci d'avance pour votre attention,
UItraviolet

lale

$x=\exp(-1/y^2)$

Titi le curieux

Connaissant $y$ quelle est la condition sur $x$ pour que $f(x, y) =1$.
Si il existe une suite qui converge vers (0, 0) mais que son image par $f$ ne converge pas vers $f((0, 0)) $, alors... 
Édit : oups, je n'avais pas vu la réponse de lale. À ma décharge on met un temps fou à écrire la moindre formule quand on est sur le téléphone. 

UItraviolet

Merci pour vos deux réponses, mais comment est-ce que vous avez eu l'intuition, qu'on allait montrer que $f(x,y)=1$ et pas n'importe quel autre nombre ? 

UItraviolet

D'ailleurs je profite de ce fil pour vous poser une deuxième question qui n'a pas grand chose à voir, mais on est d'accord que cette affirmation est erronée : 
si on prend $x=y$, il y a un bug non? 

Titi le curieux

Pour le 1, c'est juste une coïncidence, on s'est chacun de notre côté dit, on va prendre un cas où ça converge vers une constante différente de zéro, allez hop, un, c'est pesé. Moi, j'en suis resté là, lale a fait attention que si x est plus petit que 1, alors le logarithme est négatif et il a pris -1. Note qu'on aurait aussi pu prendre une suite qui diverge. 
En effet il ont probablement omis un facteur 2 dans l'inéquation

UItraviolet

Ok super merci beaucoup pour tout