Série entière et équation différentielle

AlphaNico

Bonjour à tous
Je cherche à démontrer que la fonction $f$ définie par :

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}} x^{k} $$

(dont j'ai prouvé que le rayon de convergence vaut $4$) est solution d'une équation différentielle d'ordre $1$.

J'ai calculé la dérivée de $f$ sur $]-4,4[$ mais je ne parviens pas à trouver d'équation différentielle...

Quelqu'un pourrait-il m'aider à démarrer ?
Merci pour votre aide,
$\alpha$-Nico

Chaurien

Partir de  $\binom{2n}{n}=\frac{2(2n-1)}{n}\binom{2n-2}{n-1}$.

john_john

Et tu obtiendras une EDO de la forme $P(x)y'+Q(x)y=2$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes de petit degré.

john_john

$(x^2-4x)y'+(x+2)y=2$

Chaurien

Charte 4.11 - ne donnez pas la solution des exercices trop vite, mettez sur la piste, suggérez des indices ;

john_john

Certes, mais notre ami a déjà réfléchi (et séché) sur l'exercice ; je pense qu'il a bien compris qu'il lui serait inutile de pomper le résultat sans avoir tenu compte de nos indications. En revanche, il pourra révéler l'EDO pour vérifier sas calculs...

bisam

Même si ce n'est pas la solution espérée, je propose une autre méthode.

On montre d'abord que pour tout entier naturel $k$ non nul : \[\frac{1}{\binom{2k}{k}} = 2k\int_0^1 t^{k-1}(1-t)^{k-1}dt\]
Ensuite, on justifie que pour tout $x\in\left]-4,4\right[$, \[\begin{align}f(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{\binom{2k}{k}} x^k\\ &=1+2x\int_0^1\sum_{k=0}^{+\infty}k(t(1-t)x)^k-1dt\\ &=1+2x\int_0^1\frac{dt}{(1-t(1-t)x)^2}\\ &=1+8x\int_0^1\frac{dt}{x(2t-1)^2+(4-x)}\end{align}\]
Enfin, il ne reste plus qu'à calculer l'intégrale, en séparant les cas $x>0$ et $x<0$.

AlphaNico

Bonjour à tous
Tout d'abord, merci pour vos réponses !
J'ai vraiment galéré pour trouver la réponse, j'ai suivi l'indication de john_john, et j'ai cherché des polynômes de degré 2. Plus précisément, j'ai cherché des constantes qui permettaient d'obtenir :
$$ (\alpha x^{2} + \beta x + \gamma) f^{'}(x) + (ax^{2}+bx+c) f(x) = K ,$$
mais c'est très long ! J'y suis finalement parvenu mais après de très longs calculs...

John_john : est-ce bien de cette manière que tu as procédé pour trouver la solution ?
Merci encore pour votre aide à tous,
$\alpha$-Nico

JLapin

Tu peux partir de la relation de récurrence (https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2472668/#Comment_2472668), faire un produit en croix, multiplier par $x^n$ et sommer.

john_john

AlphaNico,
oui,dans les grandes lignes : de la formule de Chaurien $2(2n-1)u_n=nu_{n-1}$ suivie de $2\sum(2n-1)u_nx^n=\sum nu_{n-1}x^{n-1}$, tu obtiens une ED en remarquant que, par exemple, $\sum nu_nx^n=xf'(x)$, etc. Il faut simplement faire attention aux termes de tout petit degré qui peuvent figurer dans telle ou telle somme et non pas dans telle autre : cela explique la présence de $=2$ dans l'EDO et non pas de $=0$.