Partie entière

Amadou

Bonjour ! Quand j'étais au lycée, j'ai remarqué que dans mes cours, on n'a pas abordé la notion sur les "parties entières", mais quand je lisais des livres, j'en voyais souvent des mentions.

Je voudrais donc clarifier certains points à ce sujet, car je ne comprends pas pourquoi la partie entière d'un nombre réel négatif non entier est toujours le plus petit entier négatif.

Voici la formule que j'ai apprise*. D'une part $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor +1 $ et d'autre part  $ x-1 < \lfloor x \rfloor \leqslant  x $.
Merci de m'aider à y voir plus clair !


*J'ai dit corrigé.

lourrran

je ne comprends pas pourquoi la partie entière d'un nombre réel négatif non entier est toujours le plus petit entier négatif.

...  je pense qu'il manque 5 ou 6 mots à la fin de cette phrase, et peut-être même qu'il y a des mots à changer.

Quelle est la définition que tu as pour la partie entière d'un nombre réel négatif non entier ?
Recopie simplement la définition que tu as sous les yeux.
Et ensuite, engageons le débat.

Congru

$n=x$ ? Je ne comprends pas trop.

NicoLeProf

Bonjour Amadou !

J'espère que tu vas bien !

La première fois que j'ai vu la notion de partie entière était rapidement et au lycée. La professeure avait défini la partie entière d'un réel $x$ comme étant "le plus grand entier ne dépassant pas $x$". 

En appliquant cette définition, on trouve que $\lfloor 2,3 \rfloor=2$ ($2$ est le plus grand entier inférieur à $2,3$).

On trouve aussi : $\lfloor -3,5 \rfloor =-4$  ($-4$ est le plus grand entier que l'on peut trouver mais qui reste inférieur à $-3,5$).

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par "le plus petit entier négatif" : il n'y en a pas vraiment puisqu'on va vers $-\infty$.

En ce qui concerne tes formules, elles ne sont pas claires non plus car $n$ et $x$ ne sont pas définis. On ne sait pas ce que $n$ désigne notamment.

Niveau formules : soit $x \in \mathbb{R}$, on a (par déf) : $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1$.

N'hésite pas à entrer la fonction "partie entière" sur GeoGebra. Je n'arrive pas à poster l'image sur le forum ce soir pour le moment...

(Lien vers Bibmath pour un visuel).

zygomathique

salut

tu peux partir "à l'envers" : pour tout réel x il existe un unique entier n tel que $n \le x < n + 1 $ et on décide d'appeler n la partie entière de x

et puisque $ n = \lfloor x \rfloor$ alors immédiatement  $ \lfloor x \rfloor \le n $           car $ a = b \Longrightarrow a \le b$

d'autre part $ n - 1 < n $  donc  $ n - 1 < \lfloor x \rfloor$

ce n'est qu'un jeu de notation ... 

Soc

Comme on regarde les nombres de façon symétrique par rapport à 0, on aurait envie que la partie entière le soit également. On aimerait par exemple que si la partie entière de $3,7$ est $3$ alors celle de $-3,7$ soit $-3$. Ce n'est pas le cas. C'est un choix totalement arbitraire, qui à moi aussi a toujours paru étrange. Cela dit, il faut faire avec!

Ce qui doit être clarifié est l'ordre pour les nombres négatifs. $-5$ est plus petit que $-4$ bien qua sa valeur absolue (5) soit plus grande que l'autre valeur absolue (4). Pour se représenter cela, la droite réelle est très efficace. Les nombres augmentent de gauche à droite (et donc diminuent dans l'autre sens).

Une fois cet ordre clair, la partie entière d'un nombre $x$ est l'entier plus petit que $x$ (ou égal à $x$, si $x$ est entier) qui s'en approche le plus. Par exemple $-4$ est le nombre entier plus petit que $-3,7$ qui s'en approche le plus.

Une autre façon de le dire est que la partie entière d'un nombre $x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Une autre façon de le présenter est que tout nombre réel $x$ peut être placé sur un unique intervalle de la forme $[n;n+1[$ où $n$ est entier, et l'on appelle alors "partie entière de $x$" le nombre $n$.

Dom

On m’avait dit en DEUG1 (actuelle L1) que pour les anglo-saxons, la partie entière est une fonction impaire. Mais par pour les francophones. 

En fait on définit un objet comme on le veut et comme on veut qu’il fonctionne. 

Ici, la partie entière est surtout utilisée pour des nombres positifs. Et ça donne « l’entier qui est devant la virgule dans l’écriture décimale ». Toutes les définitions coïncident pour les nombres positifs. 

Mais dès que que c’est négatif… on se pose des questions. 

$E_{tout \, le \, monde}(\pi)=3$ et $E_{anglais}(-\pi)=-3$ et $E_{français}(-\pi)=-4$. 

samok

Traité de dix visions,
chapitre 1
Dans tous les cas, on a
- l'égalité : a = (a//b) x b + a % b
- l'inégalité |a % b| < |b|
Ceux Qu'ils Fallaient Démontraient

Chaurien

Pardon mais il ne faudrait pas compliquer les choses inconsidérément. En français ou en anglais, il y a deux fonctions « partie entière », d'abord celle que le Concours général 2024 appelle la « partie entière inférieure », la plus utilisée habituellement, que les Anglo-Saxons appellent « partie entière plancher » et notent $ \left\lfloor ...\right\rfloor $, notation évocatrice tout à fait appropriée. En France et même ailleurs on la notait autrefois $E(...)$ ou $[...]$, mais on peut abandonner ces notations sans regrets pour une fois, au profit d'une notation meilleure.

Et il y a aussi la « partie entière plafond » notée $\left\lceil ...\right\rceil $, moins fréquente mais notation tout aussi convenable. 

Si $x \in \mathbb Z$, on a :  $ \left\lfloor x\right\rfloor $ $=\left\lceil x\right\rceil =x$. 

Si $x  \in \mathbb R$\$\mathbb Z$, si $k<x<k+1$ avec $k \in \mathbb Z$, on a :   $ \left\lfloor x\right\rfloor=k $ et $\left\lceil x\right\rceil =k+1 $, ce qui explique « plancher » (au-dessous) et « plafond » (au-dessus).

Par exemple $ \left\lfloor \pi\right\rfloor=3 $, $\left\lceil \pi \right\rceil =4 $, $ \left\lfloor -\pi\right\rfloor=-4 $, $\left\lceil -\pi \right\rceil =-3 $.

Voilà tout.

Amadou

lourrran a dit :

Recopie simplement la définition que tu as sous les yeux.
Et ensuite, engageons le débat.

Désolé, j'e nai pas vraiment fait attention à ma notation, j'ai dit écrire $n$ au lieu de $x$.

Voici la définition que j'ai sous mes yeux.

Pour tout réel $x$ il existe deux entiers $n$ et $n+1$ tel que 

\[n\leqslant x \leqslant n+1.\]

Le nombre entier $n$ est appelé la partie entière noté $\lfloor x \rfloor$ du réel $x$.

Amadou

lourrran a dit :

je ne comprends pas pourquoi la partie entière d'un nombre réel négatif non entier est toujours le plus petit entier négatif.

...  je pense qu'il manque 5 ou 6 mots à la fin de cette phrase, et peut-être même qu'il y a des mots à changer.

Quelle est la définition que tu as pour la partie entière d'un nombre réel négatif non entier ?
Recopie simplement la définition que tu as sous les yeux.
Et ensuite, engageons le débat.

Peut-être que je me suis mal exprimé, mais ce que je veux dire c'est que si on prend par exemple le nombre $\lfloor -1,15 \rfloor$, alors on dit que sa partie entière est $-2$. Cela signifie que c'est le plus grand petit nombre entier négatif inférieur à $-1,15$. Je ne comprends pas pourquoi on obtient $-2$ au lieu de $-1$.

Amadou

Salut @Nicoleprof !

Je vais super bien, merci ! Et vous, comment ça va ? Je suis vraiment content que vous m'écriviez.

La première fois que j'ai vu la notion de partie entière était rapidement et au lycée. La professeure avait défini la partie entière d'un réel $x$ comme étant "le plus grand entier ne dépassant pas $x$". 

Wow, cette définition de votre professeure est vraiment  très facile à comprendre. 

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par "le plus petit entier négatif" : il n'y en a pas vraiment puisqu'on va vers $-\infty$.

Ah d'accord, maintenant je comprends mieux, je me suis donc mal exprimé. En fait, ce que je voulais dire, c'est simplement l'entier négatif le plus petit qui précède la partie entière du nombre donné.

N'hésite pas à entrer la fonction "partie entière" sur GeoGebra. Je n'arrive pas à poster l'image sur le forum ce soir pour le moment...

(Lien vers Bibmath pour un visuel)

D'accord, je comprends. Et merci pour le lien, je vais le consulter.

Amadou

@zygomathique en fait j'avais saisi le lien entre les deux formules, ainsi que la démonstration.

Amadou

Dom a dit :

On m’avait dit en DEUG1 (actuelle L1) que pour les anglo-saxons, la partie entière est une fonction impaire. Mais par pour les francophones. 

Je suis intéressé de savoir si vous pensez que je suis capable de comprendre et si cela n'est pas trop compliqué à comprendre. Franchement je suis familier avec la définition d'une fonction impaire. 

En fait on définit un objet comme on le veut et comme on veut qu’il fonctionne. 

Je n'arrive pas à saisir le sens de vos propos.

$E_{anglais} (-\pi)=-3$ est toujours d'actualité ?

Amadou

@samok je n'ai rien compris de ce que vous avez écrit, donc je ne peux rien démontré.

Amadou

@Chaurien, merci pour l'explication détaillée. . La partie entière plancher, la partie entière plafond, tout est nouveau pour moi, mais j'ai compris. Et là, je remarque même que d'après les Anglais on a $E_{anglais} (-\pi) =-3$ qui est aussi égale à $\left\lceil -\pi \right\rceil =-3$. Donc je suppose que les Anglais considèrent toujours la partie entière des nombres négatifs comme étant une partie entière plafond ou la troncature d'un réel d'après le lien qui m'ai été envoyer par @NicoLeProf .

Amadou

D'accord, @Soc, je pense que j'ai compris maintenant ! Quand vous avez mentionné la droite réelle, ça a répondu à ma question. Merci ! Mais je suis un peu confus à la notation que vous avez utilisée. Est-ce qu'il n'y a pas de risque de confusion avec les intervalles usuels dans $\R$ ? Parce que j'ai aussi appris quelque part, si je me souviens bien dans mon manuel, que pour les entiers, il est commode d'utiliser la notation $\llbracket n, n+1 \llbracket$ au lieu de $[n, n+1[$.

Amadou

Soc a dit :

Une autre façon de le dire est que la partie entière d'un nombre $x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

C'est vraiment simple à retenir et ça va au-delà d'une simple formule mathématique où chaque lettre a une signification spécifique et que la formulation devienne une ambiguïté lorsqu'on oublie de mentionner la nature des objets, ou devient fausse lorsqu'on oublie une des hypothèses.

Chaurien

• Je crois me rappeler que certains langages de programmation comportaient une fonction « partie entière » spécifique, disons $ENT(...)$, consistant, pour un nombre à virgule, non entier, à supprimer la partie située après la virgule, que ce nombre soit positif ou négatif. Par exemple $ENT(3,14)=3$, $ENT(-3,14)=-3$. Et pour les entiers relatifs $n$, on posait : $ENT(n)=n$. Mais ceci n'a rien à voir avec les fonctions « partie entière » utilisées en mathématiques, et on peut l'oublier. 

Par ailleurs, je n'ai jamais entendu parler de ces « $E_{anglais}$ » et « $E_{français}$ » dont on parle dans certains messages de ce fil, j'ignore d'où ils viennent,  et je pense qu'on peut les oublier aussi.

• Voici ce qui se dit, tant en français qu'en anglais, et c'est la même chose :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_entière_et_partie_fractionnaire

https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions

C'est ce que j'ai écrit dans mon précédent message.

• La partie entière la plus utilisée est la « partie entière inférieure » (appellation du Concours général 2024) ou « plancher » $\left\lfloor ...\right\rfloor$, en anglais « floor function ». Pour tout $x \in \mathbb R$, $\left\lfloor x\right\rfloor$ est le plus grand $k \in \mathbb Z$ tel que $k \le x$. 

Autrement dit, pour tout $x \in \mathbb R$, on a : $n=\left\lfloor x\right\rfloor$$\Leftrightarrow $$n \in \mathbb Z~$ et $~n \le x<n+1$.

Par exemple $\left\lfloor \pi \right\rfloor=3$, $\left\lfloor -\pi\right\rfloor=-4$, $\left\lfloor 3\right\rfloor=3$, $\left\lfloor -3\right\rfloor=-3$

On notait autrefois cette fonction  $[...]$ ou $E(...)$, en français, en anglais, ou autre, mais je pense qu'il vaut mieux désormais utiliser systématiquement la notation $\left\lfloor ...\right\rfloor$, qui me semble une bonne notation. Si l'on dit « partie entière » sans préciser, c'est de celle-ci qu'il s'agit.

• L'autre fonction partie entière est celle qu'on pourrait appeler « partie entière supérieure », c'est la « partie entière plafond » $\left\lceil ...\right\rceil $, en anglais « ceiling function ». Pour tout $x \in \mathbb R$,  $\left\lceil x\right\rceil $ est le plus petit $k \in \mathbb Z$ tel que $k \ge x$. 

Autrement dit, pour tout $x \in \mathbb R$, on a : $n=\left\lceil x\right\rceil $$\Leftrightarrow $$n \in \mathbb Z~$ et $~n-1<x \le n$.

Par exemple $\left\lceil \pi\right\rceil=4 $, $\left\lceil -\pi\right\rceil =-3 $, $\left\lceil 3\right\rceil=3 $, $\left\lceil -3\right\rceil=-3 $.

Cette fonction est moins utilisée que la précédente.

• Bref, si $x \in \mathbb Z$, alors $\left\lfloor x\right\rfloor$ $= \left\lceil x\right\rceil =x$. 

Si $x \in \mathbb R$\ $ \mathbb Z$, il existe un seul $n \in \mathbb Z$ tel que $n<x<n+1$, et alors  $\left\lfloor x\right\rfloor=n$ et $ \left\lceil x\right\rceil =n+1$.

Bonne journée de ce Samedi saint 2024.

Fr. Ch.

lourrran

Regarde ce dessin : 

Ce dessin représente ce qu'on appelle la droite réelle. Un tout petit extrait de cette droite réelle.
On va s'intéresser au réel -1,2, et à sa partie entière.
Sur la droite réelle, plus un nombre est vers la gauche, plus il est petit. Et plus il est vers la droite, plus il est grand. 
Donc question 1 : parmi les nombres entiers visibles sur ce dessin (-2,-1, 0, 1 et 2) , lesquels sont plus petits que -1,2 ?
Réponse : il y a sur ce dessin un seul nombre entier plus petit que -1,2, c'est -2.
Ici, le dessin est partiel, il y a en vrai plein d'autres entiers plus petits que -1,2, par exemple -3, -4, -5 etc etc

Et la partie entière d'un nombre x, elle est forcément plus petite (ou égale) à ce nombre x.
Donc à gauche de x sur le dessin.

Sur le dessin, pour chercher la partie entière de -1.2, il faut chercher à gauche de -1.2 ; plus précisément, on part de -1,2, on va vers la gauche. Et dès qu'on trouve un entier, on s'arrête. Cet entier est la partie entière de -1.2

Dom

Les définitions ont été rappelées. Pour ne pas embrouiller le fil je préfère en rester là. 

Le mieux est d’écrire les choses. 

« L’unique entier $n$ tel que $n\leq x <n+1$ ». 

gerard0

Amadou :  si on prend par exemple le nombre ⌊−1,15⌋, alors on dit que sa partie entière est −2. Cela signifie que c'est le plus grand nombre entier négatif inférieur à −1,15. Je ne comprends pas pourquoi on obtient −2 au lieu de −1.

Tu sembles faire une confusion qui date de l'apprentissage des négatifs. Place les nombres -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 sur un axe, puis place -1,15. Tu verras alors quel est l'entier le plus grand qui est inférieur à -1,15.

Autre méthode : 1<1,15<2. En multipliant par -1 chaque membre de cette double inégalité, on obtient ....
Cordialement.

etanche

@ amadou la courbe de la fonction partie entière https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%5Clfloor+x+%5Crfloor+

Soc

@Amadou:
La notation $⟦2,11⟦$ correspond à tous les entiers compris entre 2 et 11 (11 exclus).
La notation $[2;11[$ correspond à tous les réels compris entre 2 et 11 (11 exclus).

Dans le cas présent, c'est bien de l'intervalle réel dont on parle, car on dit que le nombre réel $x$ appartient à un seul intervalle réel de la forme $[n;n+1[$.

Sinon j'insiste sur ce que j'ai dit et que d'autres t'ont souligné également, quand tu dis "Peut-être que je me suis mal exprimé, mais ce que je veux dire c'est que si on prend par exemple le nombre ⌊−1,15⌋, alors on dit que sa partie entière est −2. Cela signifie que c'est le plus grand nombre entier négatif inférieur à −1,15. Je ne comprends pas pourquoi on obtient −2 au lieu de −1."  Cela témoigne que c'est la notion d'ordre sur les nombres négatifs qui est confuse pour toi.

Pour toi -5 devrait être plus grand que -4 car 5 est plus grand que 4. Ce n'est pas le cas. Si la droite réelle ne t'éclaire pas assez, tu peux penser aux températures et te demander s'il fait plus chaud avec -5 ou -4 degrés. Tu peux aussi te demander si tu es plus riche en ayant -500€ ou -200€ sur un compte en banque.

zygomathique

Une autre façon de voir les choses : on appelle partie entière du réel $x$ l'unique entier (relatif) $n$ tel que $ n \le x \ \text{et} \ x - n \in [0, 1[$.
$x - n$ est la partie décimale de $x$ lorsque  $x \ge 0$
$x - n$ est le complément à $1$ de $x - n$ lorsque $ x \le 0$.

Chaurien

Je dirais plutôt « partie fractionnaire » que « partie décimale » car un nombre réel n'est pas supposé écrit dans la base dix.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_entière_et_partie_fractionnaire
Maintenant, je trouve qu'on complique à souhait quelque chose qui est plutôt simple.

Amadou

@Chaurien, merci et bonne journée à vous !

Amadou

Soc a dit :

Cela témoigne que c'est la notion d'ordre sur les nombres négatifs qui est confuse pour toi.

Pour toi -5 devrait être plus grand que -4 car 5 est plus grand que 4. Ce n'est pas le cas. Si la droite réelle ne t'éclaire pas assez, tu peux penser aux températures et te demander s'il fait plus chaud avec -5 ou -4 degrés. Tu peux aussi te demander si tu es plus riche en ayant -500€ ou -200€ sur un compte en banque.

Je ne comprend pas c'est également ce que @gerard0 m'a signalé. Je ne suis pas du tout confus à ce sujet. Je sais très bien que quand on a "$-$" on diminue et que $-5$ est toujours plus petit que $-4$. Dans un cas plus general on m'a toujours* dis que si $n<n+1$, alors $-(n+1)<-n$ pour tout nombre réel $n$. Je n'ai donc aucune confusion la dessous. 

*Et je l'ai aussi compris de manière intuitive.

Amadou

Je vois, j'avais pas prêté attention, j'ai dit donc  écrire "plus grand" au lieu de "plus petit" entier négatif .

gerard0

Et ça n'a plus de sens. Je recopie : 

Cela signifie que c'est le plus grand petit nombre entier négatif inférieur à −1,15.

Tu veux peut-être dire "le plus petit en valeur absolue ? Mais -2 est bien un nombre plus petit que -1,15. "Plus petit" est une façon de dire "inférieur". -2 est bien "le plus grand nombre entier [négatif] inférieur à −1,15" (le mot "négatif" ne sert à rien, les règles de calcul sont les mêmes quels que soient les signes des nombres. Tu te compliques la vie avec ça).

NicoLeProf

gerard0 a raison Amadou, pas besoin de se compliquer la vie avec négatif ou positif.

Pour ne pas t'embrouiller, retiens seulement pour le moment la définition suivante :  soit $x$ un nombre réel. On appelle "partie entière de $x$", le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Maintenant, exercice : détermine la partie entière des nombres suivants (sans calculatrice pour que ce soit plus fun) : $3 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  5,2 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  \pi \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  -4,6 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  -7,9 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} -7,1 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}   -\dfrac{1}{3} \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  \dfrac{3}{7} \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm}  \sqrt 5$.

zeitnot

Je propose $-10^{300}+2 \pi$

Amadou

@NicoLeProf bonsoir ! D'accord, sinon j'ai parfaitement saisi toutes les explications données ! Les parties entières des nombres respectifs sont : $3 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} 5 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} 3 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} -5 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} -8 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} -8 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} -1 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} 0 \hspace{0.5 cm} ; \hspace{0.5 cm} 2$.

Amadou

Hey, @zeitnot je pense que vous exagérez un peu avec la puissance. Est-ce que ça serait pas mieux de commencer avec un truc plus simple et de me demander de faire une déduction ?

zeitnot

Non @Amadou, c'est quoi le grand entier inférieur à $\pi$ ? Même chose pour les deux derniers, il faut faire quelque chose.

zeitnot

Laisse tomber mon exemple, par contre pour celui @dom, tu en as trois à corriger (faire).

Amadou

zeitnot a dit :

Je propose $-10^{300}+2 \pi$

Voyons voir !  Posons $n=2k$ avec $k\in \mathbb N^{*}$.

Pour $k=1$, on a $-10^{1}+2\pi$ qui à pour partir entière $-4$.

Pour $k=2$, on a $-10^{2}+2\pi$ qui à pour partir entière $-94$.

Pour $k=3$, on a $-10^{3}+2\pi$ qui à pour partir entière $-994$.

Or nous savons que pour $k=150$ on aura $n=2\times 150=300$.

Donc la partie entière de $-10^{300}+2 \pi$ est $-999....4$ avec $299$ de $9$.

Perso : Honnêtement je n'ai utilisé aucune machine, ni calculatrice.

gerard0

Amadou, ce n'est pas sérieux. La définition de "partie entière" dit que c'est un entier. Ensuite elle dit lequel. Il faut lire la définition (c'est à dire comprendre complétement ce qu'elle dit).

Tu ambitionne de faire des études de hautes mathématiques, mais tu te comportes comme un élève de mauvaise volonté, celui qui fait tout sans penser, sans réfléchir, sans comprendre. Agis à la hauteur de ton ambition !

Amadou

Ce n'est pas simple pour moi de bosser à ces heures-là, j'utilise mon téléphone. J'ai voulu copier-coller son exercice et le traiter, mais malheureusement quand j'ai voulu cliqué sur l'aperçu, le message est parti et voilà. Je voulais le corriger à nouveau une fois répondu à @zeitnot.