Primitive de fraction en sinus et cosinus

Piteux_gore
Modifié (29 Mar) dans Analyse
Bonjour
Je cherche la primitive de $\dfrac {\sin^4 x} {\sin^4 x + 4\cos^2 x}$.
A priori, j'hésite entre trois méthodes :smile:
- tangente de l'arc moitié suivie de la décomposition en éléments simples de la fraction ainsi obtenue
- tangente (règle de Bioche)
- linéarisation du numérateur et du dénominateur.
Y aurait-il une astuce ?
Gardez le cap !...
Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

Réponses

  • JFS
    JFS
    Modifié (29 Mar)
    $\cos^2x = t $ ?
  • Chaurien
    Modifié (29 Mar)
    Quand la règle de Bioche donne quelque chose, comme ici, c'est toujours plus simple que la tangente de l'arc moitié. C'est donc cette méthode qui a ma préférence, car je ne vois pas l'utilité de la troisième, surtout la linéarisation du dénominateur.
  • Chaurien
    Modifié (29 Mar)
    Le changement de variable donné par la règle de Bioche est comme tu dis  $t=\tan x$.
     Sauf erreur, toujours possible, il donne :$\int \frac{\sin ^{4}xdx}{\sin ^{4}x+4\cos ^{2}x}=\int \frac{t^{4}dt}{(t^{2}+1)(t^{2}+2)^{2}}$.
    On doit donc décomposer en éléments simples : $\frac{x^{2}}{(x+1)(x+2)^{2}}$. Allons-y...
    Ça fait plusieurs fois que l'on évoque Charles Bioche (1859-1949). Il faudra qu'on lui consacre un fil, si ce n'est déjà fait.
  • Piteux_gore
    Modifié (29 Mar)
    La méthode de Bioche donne
    $7/\sqrt 2 \times \arctan \big(\tan (x)/\sqrt 2\big) + (\tan^5x - 7\tan^3 x - 21\tan x)/3(\tan^2 x + 2)$.
    Merci pour vos conseils !...
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • Je me suis trompé...
    Je reviens dans un moment avec le résultat correct.
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • Math Coss
    Modifié (29 Mar)
    Tu pourrais savoir que $A/B(C+D)=\frac{A}B(C+D)$.
    sage: integral(sin(x)^4/(sin(x)^4+4*cos(x)^2),x)
    -1/2*sqrt(2)*arctan(1/2*sqrt(2)*tan(x)) + x - tan(x)/(tan(x)^2 + 2)
    sage: latex(_)
    -\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \arctan\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \tan\left(x\right)\right) + x - \frac{\tan\left(x\right)}{\tan\left(x\right)^{2} + 2}
    
    \[\int\frac{\sin^4x}{\sin^4x+4\cos^2x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \arctan\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{2} \tan\left(x\right)\right) + x - \frac{\tan\left(x\right)}{\tan\left(x\right)^{2} + 2}+C.\]
  • Après recalcul, j'ai trouvé comme Math Coss...
    Mon erreur venait de ce que j'avais écrit $1/(1+\tan^2x)$ comme dérivée de $\tan x$ !...
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • Piteux_gore
    Modifié (29 Mar)
    Le calcul précédent permet d'intégrer $1/(x^2+y^2+1)^2$ sur l'intérieur ou l'extérieur de la parabole $y^2 - 2x = 0$, moyennant passage en polaires.
    À tantôt...
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • L'intégrale double que j'ai citée peut, en fait, se calculer sans la fraction trigonométrique :smile:
    - on calcule l'intégrale sur un domaine fini de l'intérieur de la parabole, domaine convenablement choisi et décomposable en triangle-résidu ;
    - on détermine la limite de l'intégrale précédente, quand le domaine devient infini.
    A tantôt...
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

  • Piteux_gore
    Modifié (31 Mar)
    Rebonjour,
    Il y a une façon plus simple de calculer la primitive de la fraction :smile:
    $\displaystyle 1 - \frac {\sin^4x}  {\sin^4x + 4 \cos^2x} = 4\ \frac {\cos^2x}  {(1+ \cos^2x)^2}$.
    Ensuite, règle de Bioche et le tour est joué.
    Gardez le cap !...
    Rien de tel qu'une préface pour gâcher un bon livre.

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