Sur les groupes fondés sur les entiers dont tous les éléments sont d'ordre fini

AlainLyon
Modifié (29 Mar) dans Fondements et Logique
Soit $G$ un groupe dont tous les éléments sont d'ordre fini.
1) Montrer que si $g$ et $h$ sont deux éléments distincts non neutres alors les groupes cycliques engendrés par $h$ et $g$ sont égaux ou d'intersection réduite à $\lbrace 0\rbrace$.
2) Utiliser le lemme de Zorn pour prouver que $G$ est engendré par un nombre fini d'éléments.
3) En déduire que $G$ est fini.
4) Soit le groupe additif $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[X]$ prouver que tout élément de $G$ est d'ordre fini et en déduire  que $G$ est fini!

*** réouverture d'un fil fermé. -- 24h de bannissement. Un bannissement plus long sera effectué en cas de récidive. --JLT ***
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré

Réponses

  • Etienne91
    Modifié (29 Mar)
    La question est trivialement fausse : regarde les classes d’équivalence de $2$ et $4$ dans $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$

    Édit : je me suis peut-être un peu emflammé sur le « trivialement »
  • Bibix
    Modifié (29 Mar)
    Non tu t'es trompé. Le 1er avril, c'est lundi prochain.
  • Ah comme c'est malin et astucieux de poser son shtam comme ça, l'air de rien, sous la forme d'un exercice. Malheureusement il y a réouverture d'un fil qui vient juste de fermer. Bye bye. J'espère que tu vas prendre au moins quelques jours, mais évidemment, le plus longtemps sera le mieux.
    Après je bloque.
Cette discussion a été fermée.