Cas particuliers de la formule de d'Alembert sur les séries entières

Blanc
Modifié (29 Mar) dans Analyse
Bonjour
Je vous remercie de m'apporter des pistes ou des explications dans ce qui suit.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (29 Mar)
    Bonjour.
    Je suppose que tu sais que s'il existe $z_0$ tel que la série converge pour $z=z_0$ alors $R\ge |z_0|$. Sinon, commence par le démontrer. Puis applique en montrant dans le premier cas que la série converge pour tout $z_0$, dans le deuxième qu'elle diverge pour tout $z_0$.
    Difficile d'en dire plus sans faire l'exercice à ta place.
    Cordialement.
  • john_john
    Modifié (29 Mar)
    Bonjour,
    pour $z\neq0$, tu peux appliquer le critère de D'Alembert à la série $\sum|a_nz^n|$ ; lorsque $\ell|z|>1$, il y a divergence grossière (argument à avancer car la non absolue convergence n'implique pas la divergence).
  • Blanc
    Modifié (4 Apr)
    Bonjour , Gérard et John John

    Voici mon travail qui je l'espère est correct et pour lequel je vous serais reconnaissant d'apporter les amèliorations nécéssaires.


  • (Quelques remarques de détail par MP)
  • zygomathique
    Modifié (3 Apr)
    Salut
    il faut bien comprendre que le lemme d'Abel est une conséquence directe du critère de convergence des séries géométriques vu au lycée
    supposons donc que $ \lim \left| \dfrac {a_{n + 1}} {a_n} \right| = 0 $
    le but est de montrer que $ \forall z \in \C : S(z) = \sum a_n z^n$ est finie (existe)
    soit donc $ z \in \C^*$ et posons $ r = \dfrac 1 {1 + |z|} $
    alors par définition de la limite $ \exists m \in \N : \forall n \ge m : \left| \dfrac {a_{n + 1}} {a_n} \right| \le r $
    par conséquent pour tout $ n > m : a_n = \left( \prod_{m + 1}^n \dfrac {a_n}{a_{n - 1}} \right) a_m $ donc $ |a_n| \le r^{n - m} |a_m| $
    et alors $ |S(z)| \le \left|\sum_0^m a_n z^n \right| + \sum_{m + 1} |a_n z^n| \le \left|\sum_0^m a_n z^n \right| + \sum_{m + 1} |a_m r^{n - m}z^n| \le \left|\sum_0^m a_n z^n \right| + |a_m|r^{-m} \sum_{m + 1} \left( \dfrac {|z|} {1 + |z|} \right)^n$
    et le critère de convergence des séries géométriques permet de conclure que cette deuxième somme est bornée
    donc $|S(z)|$ est bornée et existe ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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