Tores homéomorphes ?

kkkk

Bonjour
Je suis débutant en topologie et j'ai du mal à me convaincre que tous les tores sont homéomorphes entre eux.  Si un ver s'introduit dans un fruit et qu'il en ressort de l'autre côté après avoir fait un parcours intérieur en forme de noeud non trivial, comment imaginer que ce tore est équivalent à une simple rondelle trouée ?  Existe-t-il une démonstration simple que me convaincrait, ou mieux, une vidéo qui montrerait la transformation continue de cette pomme en simple donuts ?

C'est encore plus compliqué avec des gâteaux à 10 trous où dix vers se promèneraient aléatoirement avant de ressortir !

raoul.S

Je ne suis pas expert de la théorie des nœuds mais il me semble que si tu fais un nœud non trivial dans une boule (un fruit) en entrant d'un point et en sortant d'un autre point, comme le nœud de trèfle, tu n'obtiens pas le même groupe fondamental. Le groupe fondamental du nœud trivial étant $\Z$ mais pas celui du nœud de trèfle. Bref, tout ça pour dire que les deux espaces obtenus ne sont pas homéomorphes...

Où est-ce que tu as lu qu'ils sont forcément homéomorphes ?

kkkk

J'aurais peut-être dû écrire "homeotopiques " ? 
Mais en fait, je n'en sais rien !

Ce que j'ai lu, un peu partout sur le net et même sur chatgpt, c'est que on classe généralement  les objets par complexité croissante : la sphère, le tore, le gâteau à deux trous , à trois trous,... On se fiche pas mal de la façon dont on fait les trous !

Quand on voit le niveau d'expertise des intervenants dans ce forum (je suis bien incapable de comprendre une seule de leurs discussions ), j'espère que quelqu'un m'apportera la réponse ou me détrompera.

En tous cas, merci pour ta réponse !  Une seule pour 40 consultations à ce stade, cela  me fait plaisir !

Héhéhé

Une discussion sur ce sujet : https://math.stackexchange.com/questions/4709747/a-torus-whose-middle-is-tied-in-an-overhand-knot-how-many-holes-does-it-have j'imagine que tu fais référence à ce genre de situation ?

kkkk

Voici ce que chatgpt m'a répondu.  Il semblerait que j'aie "tort", mais est-ce qu'une intelligence humaine peut confirmer ?

Si un ver traverse une pomme en formant un tore dans l'espace tridimensionnel, alors le tore formé dépendra du parcours spécifique du ver à travers la pomme. En d'autres termes, différentes trajectoires du ver à travers la pomme peuvent conduire à des tores différents en trois dimensions.

Dans le cas tridimensionnel, la topologie de l'objet résultant dépendra de la façon dont la pomme est traversée. Si le ver crée un trou qui est enroulé autour de lui-même sans croiser, la structure résultante serait un tore. Mais si le ver effectue des boucles supplémentaires ou des torsions à travers la pomme, la topologie du résultat pourrait être différente.
Donc, contrairement au cas bidimensionnel où le théorème de Jordan-Schoenflies garantit l'équivalence topologique, en trois dimensions, la topologie du tore formé dépendra du parcours du ver à travers la pomme.

Héhéhé

Tu coupes le nœud au milieu, tu le défais puis tu recolles. Un peu comme dans l'image qui suit:



EDIT: tu ne devrais pas faire confiance à chatGPT, pour ça ou pour quoi que ce soit d'autre.

kkkk

Merci pour ton lien, Héhéhé, c'est bien sur cela que je réfléchis, mais pour ce qui est de couper le noeud, c'est interdit en topologie. !

Héhéhé

Absolument pas, il faut seulement s'assurer qu'après recollement les ouverts sont bien envoyés sur des ouverts :

On assure ainsi d'avoir une transformation continue.

raoul.S

kkkk a dit : 
J'aurais peut-être dû écrire "homeotopiques " ? 

tu veux dire homotopiquement équivalents. En fait ils ne sont même pas homotopiquement équivalent car leurs groupes fondamentaux ne sont pas isomorphes (voir le lien de Héhéhé ).

PS : en fait je viens de me rendre compte que je considère le tore plein (il faut le préciser...)

Math Coss

D'habitude, ce qu'on appelle tore, c'est plutôt le quotient de $\R^2$ par un réseau (sous-groupe discret qui contient une base) : $\R^2/\Z^2$, typiquement. C'est une chambre à air sans l'air qu'elle contient, i.e. le bord d'un beignet. Je ne vois pas de ver de terre ni de pomme dans la notion de tore. En tout cas, il est clair qu'avec cette définition, tous les tores sont homéomorphes : étant donné deux réseaux $\Lambda$ et $\Lambda'$ dans $\R^2$, une application linéaire de $\R^2$ dans lui-même qui envoie une base de $\Lambda$ sur une base de $\Lambda'$ induit un homéomorphisme $\R^2/\Lambda$ sur $\R^2/\Lambda'$.

Ensuite, un nœud, c'est en général un plongement du cercle $S^1$ dans la sphère $S^3$ (ou, ce qui revient au même, dans $\R^3$) à quelque chose près (homotopie ou isotopie, ce qui me semble-t-il revient au même) : d'une part ce n'est pas un tore plein, d'autre part, même si on épaissit le nœud, le groupe fondamental est $\Z$, il est indépendant du plongement – en revanche le groupe fondamental du complémentaire du nœud dépend du plongement et c'est un invariant du nœud – mais pas d'un tore mystérieux ni du cercle.

Héhéhé

Math Coss tu es de mauvaise foi, un tore est aussi une surface (ou un solide si on considère l'intérieur) de révolution. C'est évidemment de ça qu'il s'agit ici.
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tore
La question est donc de savoir si cette surface :

est homéomorphe à un tore standard, c'est à dire cette surface 

La réponse est oui comme je l'ai expliqué.

raoul.S

Moi en lisant le premier message j'ai compris qu'on parlait de fruit troué, donc de tore plein...  quoi qu'il en soit le lien de Héhéhé traite les deux cas : la surface et le volume. Pour la surface il y a homéomorphisme, pour le volume non.

Math Coss

Les deux surfaces sont plongées dans $\R^3$ mais elle sont intrinsèquement (homéomorphes, voire difféomorphes dans ces cas, à) $\R^2/\Z^2$ (ou, par commodité, $\R^2/(2\pi\Z)^2$)...

Pour la deuxième, il est facile d'exhiber un difféomorphisme : \[(\R/2\pi\Z)^2\longrightarrow\R^3,\quad\begin{pmatrix}\theta\\\phi\end{pmatrix}\longmapsto\begin{pmatrix}{\left(r \cos\left(\phi\right) + R\right)} \cos\left(\theta\right)\\{\left(r \cos\left(\phi\right) + R\right)} \sin\left(\theta\right)\\r \sin\left(\phi\right)\end{pmatrix}.\]

Héhéhé

Oui on est d'accord, donc je n'ai pas bien compris quand tu as dit que tu ne voyais pas le rapport avec la pomme et le ver, il est assez clair que si un ver grignote une pomme en "ligne droite", on va obtenir un truc qui ressemble à un donut.

Math Coss

Oui mais d'abord le vers vient de l'extérieur donc il a tendance à faire un trou qui n'est pas fermé sur lui-même et d'autre part ce n'est pas une bonne idée de faire un plongement compliqué pour étudier un espace topologique ; mieux, c'est une bonne idée de s'affranchir du plongement, et c'est l'intérêt de penser un tore comme $\R^2/\Z^2$, qui n'est pas plongé dans quoi que ce soit.

Héhéhé

Je n'ai pas compris ta phrase "il a tendance à faire un trou qui n'est pas fermé sur lui-même". C'est justement le but d'avoir un trou qui traverse de part et d'autre la pomme non ?

kkkk

Au départ, je ne pensais qu'au volume. 
Naïvement, pour moi, un tore n'était qu'une rondelle trouée et le ver qui traversait une pomme de part en part la transformait en rondelle trouée.
Je ne m'étais jamais posé de question au sujet de la surface.

Ma question était donc : si la pomme était en fait en plasticine, pourrait-on la déformer continûment et sans coupure-recollage et la rendre semblable à un donut.

Je croyais cela possible, mais maintenant, il me semble que non, si le ver a fait un parcours en forme de nœud..
Quoi qu'il en soit, il doit bien y avoir une démonstration, dans un sens ou dans l'autre,  quelque part !
Je ne suis sans doute pas capable de  comprendre cette démonstration, mais dites-moi simplement si ce théorème existe, quel est son auteur  et quelle est sa conclusion.
Merci pour votre participation.

raoul.S

Dans le cas du volume une démonstration possible utilise le groupe fondamental d'un nœud (le groupe fondamental du complémentaire du nœud par définition...). C'est un outil de topologie algébrique, je ne sais pas si tu connais. En très résumé, à chaque espace topologique connexe par arcs on peut associer un groupe (le groupe des classes d'homotopies de lacets). Si deux espaces topologiques connexes par arcs sont homéomorphes ou plus généralement homotopiquement équivalents, alors ils auront leurs groupes fondamentaux isomorphes.

On utilise ceci pour démontrer ce que tu veux avec ta pomme : il "suffit" de calculer le groupe fondamental de la pomme trouée avec un trou simple qui traverse, on trouve que ce groupe vaut $\Z$. Puis on calcule le groupe fondamental de la pomme trouée avec un trou en forme de nœud de trèfle et on trouve le groupe fondamental suivant : $\langle x,y\,|\, x^3=y^2\rangle$. Puis on montre que ce groupe n'est pas isomorphes à $\Z$ (car il est fini). Donc ces deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes.

Ce n'est pas trivial du tout....

AD

Bonjour Raoul.S
Le groupe $\langle x,y\mid x^3=y^2\rangle$ n'est pas fini ! Les éléments $x$ et $y$ sont d'ordre infinis.
Mais bien sûr ce groupe n'est pas isomorphe à $\Z$ car il n'est pas commutatif.
Alain

kkkk

Alors quoi ? Vos arguments sont trop complexes pour moi !

J'en reviens à ma question : est-il possible de passer de la première figure de Héhéhé (tore "noué" ) à sa deuxième figure (tore "donut" ) par une transformation continue sans coupure ni recollage ?

Quelle que soit votre réponse, ( oui ou non ou indécidable ? )  la démonstration doit exister quelque part, depuis longtemps.  Il n'est pas imaginable que personne avant moi n'ait posé cette question.  Qu'en dit-on dans les revues spécialisées ?

Encore merci de ne pas vous réfugier dans un formalisme vraiment  trop abstrait pour moi, pour me répondre.

raoul.S

@AD oui tu as raison. En fait il y a surjection entre $\langle x,y\mid x^3=y^2\rangle$ et $\mathfrak{S}_3$ et je ne sais pas pourquoi j'en ai conclu que $\langle x,y\mid x^3=y^2\rangle$ est fini...

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kkkk a dit : 
est-il possible de passer de la première figure de Héhéhé (tore "noué" ) à sa deuxième figure (tore "donut" ) par une transformation continue sans coupure ni recollage ?

Réponse : Non.

kkkk a dit : 
Quelle que soit votre réponse, ( oui ou non ou indécidable ? )  la démonstration doit exister quelque part, depuis longtemps.  Il n'est pas imaginable que personne avant moi n'ait posé cette question.

Tu dois comprendre qu'au bout d'un moment il faut mettre les mains dans le cambouis. Tu ne peux pas prétendre une réponse "simple" sans acquérir des connaissances au préalable. À mon avis ta question relève de la théorie des nœuds et se démontre comme je l'ai indiqué et comme indiqué dans le lien donné par Héhéhé (le site math.stackexchange c'est du sérieux quand même). Ce n'est pas un problème assez important pour qu'il soit encadré dans les bouquins car il se résout "simplement" une fois que l'on a fait l'effort de se plonger un peu dans la topologie algébrique.
Voici un article sur arXiv qui est une introduction à la théorie des nœuds et qui permet d'acquérir les connaissances nécessaire pour comprendre la preuve. Il a été écrit par un chercheur donc...

Après si un autre intervenant connait un argument plus direct qu'il n'hésite pas à intervenir.

Math Coss

Les deux surfaces dessinées « par » Héhéhé sont homéomorphes mais on ne peut pas déformer l'une en l'autre de façon continue sans que la surface ne s'intersecte (l'homéomorphisme n'est pas homotope à l'identité).

En revanche, les intérieurs (la pomme sans le trou) ne sont pas homéomorphes.