Intégrale de Dirichlet, intégrabilité, Fubini

un_kiwi

Bonjour
Je cherche à calculer l'intégrale de Dirichlet $\quad\displaystyle \mathcal{D}:=\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)} t \ dt $.

Pour cela, j'utilise le fait que $\displaystyle \frac 1 t = \int_0^{+\infty} e^{-tx}\ d x$ et ainsi j'obtiens que
$$ \mathcal{D} = \int_0^{+\infty} \bigg( \int_0^{+\infty} \sin(t)  e^{-tx}\ d x \bigg) \ dt.$$
En intervertissant les intégrales, je trouve bien que $\mathcal{D}= \pi / 2$, seulement pour pouvoir intervertir les intégrales, je dois justifier que la fonction $(t,x) \mapsto \sin(t) e^{-tx}$ est intégrable sur $({\bf R}^*_+)^2$, ce que je ne n'arrive pas à faire...
Cordialement.

Math Coss

Il me semble prudent de commencer par fixer $X>0$ et travailler sur $[0,X]$, puis envoyer $X$ vers l'infini.

PS : je voulais parler de l'intervalle où varie $x$. Cela revient essentiellement à faire ce que propose @JLapin.

JLapin

Sauf erreur, tu pourrais t'en sortir ainsi.

1) Vérifier par convergence dominée que la suite $u_n = \int_0^{+\infty} \int_0^{2n\pi} \sin(t)e^{-xt}dt dx$ converge vers $\dfrac{\pi}2$.

2) Vérifier par dérivation (et convergence dominée) que $$\forall X>0, \int_0^{+\infty} \int_0^X \sin(t)e^{-xt}dtdx = \int_0^X \dfrac{\sin t}{t}dt$$

3) Conclure en prenant $X=2n\pi$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$.

Poirot

C'est normal que tu n'arrives pas à montrer l'intégrabilité de $(t,x) \mapsto \sin(t) e^{-xt}$ puisque, si elle l'était, le théorème de Fubini impliquerait en particulier que $t \mapsto \int_0^{+\infty} \sin(t) e^{-xt} \,\mathrm{d} x = \frac{\sin t}{t}$ serait intégrable sur $\mathbb R^+$, ce que l'on sait ne pas être le cas.

un_kiwi

Merci à vous tous, c'est plus clair maintenant.