Inégalité triangulaire et $|x|+|y|=1$

Bonjour ici, j'espère que ça va ! Merci à @Dom d'avoir eu l'idée de proposer ce sous-forum et merci à @Vassillia d'avoir créé une fil de discussion à ce sujet, et merci aux modérateurs d'avoir créé ce sous-forum après concertation.

L'un des plus beaux cadeaux qui m'ai été offert c'est d'être tombé dans un tel forum de groupe de matheux, surtout avec des personnes qui ont une maîtrise parfaite du domaine et qui ont appris les maths à des époques différents de la nôtre, quand (chez nous les programmes et les explications sont plus légers). Je suis sûr que tous les lycéens qui tombent sur ce sous-forum vont jamais regretter d'être entourés de profs excellents qui comprennent facilement le questionnaire et qui sont prêts à y répondre. Moi, en tout cas, ce sous-forum, il me convient trop bien. Cela pourrait bien m'être utile pour combler toutes mes lacunes du niveau secondaire.

Franchement je n'ai pas voulu être la première personne à ouvrir une discussion avant tant d'autres lycéens. Mais comme j'étais impatient (et que c'est le seul forum que je fréquente) parce que c'est mon niveau de seconde qui me le recommande, je pense que je me sentirai plus à l'aise ici car je serai peut-être épargné par les explications de niveau avancées.

...........................................
J'aimerais avoir votre aide sur ces deux exercices.

1. Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $|x|+|y|=1$. Montrer que $x^2+y^2\leqslant 1$ et interpréter géométriquement.
Voilà, j'ai pensé à élever l'expression au carré mais je ne vois pas comment avancer.

2. Je voulais juste voir si je pouvais prouver l'inégalité triangulaire "Pour tout réel $x$ et $y$, on a l'inégalité suivante $|x+y|\leqslant |x|+|y|$".

Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques. Montrons $|x+y|\leqslant |x|+|y|$.
\begin{align*}
|x+y|\leqslant |x|+|y| & \Leftrightarrow (|x+y|)^2\leqslant (|x|+|y|)^2 \\
& \Leftrightarrow |(x+y)^2| \leqslant |x^2| + |y^2| +2|xy| \\
& \Leftrightarrow (x+y)^2 -x^2-2|xy|-y^2 \leqslant 0 \\
& \Leftrightarrow 2xy -2|xy| \leqslant 0 \\
& \Leftrightarrow 2(xy -|xy|) \leqslant 0 \qquad \text{or } 2\neq 0 \text{ donc } xy-|xy| \leqslant 0 \\
& \Leftrightarrow xy\leqslant |xy|.  \text{ (ce qui est toujours vraie.)}
\end{align*}
Et j'aimerais savoir s'il y a d'autres façons de le faire. Si oui, pouvez-vous me les proposer s'il vous plaît ?

« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • gerard0
    Modifié (27 Mar)
    Bonjour.
    Pour le premier, il est facile de voir comment est faite la courbe d'équation $|x|+|y| = 1$ (séparer les 4 cas), et de comparer au domaine d'équation $x^2+y^2\leqslant 1$.
    Cordialement.
  • gerard0
    Modifié (27 Mar)
    Pour la deuxième, l'examen des 4 cas en fonction des signes de x et y donne directement le résultat. On peut même se ramener à 2 cas seulement.
    Autre méthode : $|a| = \max(a,-a)$
    Cordialement.
  • i.zitoussi
    Modifié (27 Mar)
    Pour la 1), tu pourrais aussi faire un dessin. $x^2+y^2=1$ est l'équation d'un cercle (lequel ?), $x^2+y^2\leq 1$ représente son intérieur (c'est un disque, bord compris). Ensuite tu traces la courbe d'équation $|x|+|y|=1$, et ça devrait de guider.
    Edit : désolé, c'est à  peu près le même réponse que gerard0...
    Après je bloque.
  • Amadou
    Modifié (27 Mar)
    Bonjour @gerard0! Merci beaucoup pour les indices.
    Si j'ai bien compris, quand vous parlez de séparation des 4 cas, je dois étudier les signes de $x$ et $y$, c'est-à-dire quand $x$ et $y$ sont positifs, quand ils sont tous les deux négatifs, quand $x$ est positif et $y$ est négatif, et quand $x$ est négatif et $y$ est positif.
    Mais quand je regarde cette inéquation $x^2+y^2\leqslant1$, ça ressemble à l'équation d'un cercle avec un centre en $0$ et un rayon de $1$. 
    Concernant le deuxième je ne suis pas vraiment à l'aise avec les définitions de maximum et minimum. Je vous reviens après.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (27 Mar)
    @i.zitoussi oui il s'agit de l'équation d'un cercle de centre $0$ et de rayon $1$. Merci beaucoup car ça permet de voir plus clair.
    Est-ce qu'un dessin justifie mon raisonnement ? J'ai entendu dire dans un autre fil de discussion que le dessin ne suffit pas pour prouver quelque chose.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Non, un dessin ne suffit pas, mais il permet facilement de donner la preuve.
  • zygomathique
    Modifié (27 Mar)
    Salut
    tu peux remarquer que $ |x| + |y| = 1 \Longrightarrow \pm x \pm y = 1$
    ce qui te donne graphiquement quatre droites et sur chacune d'elle un segment de droite à conserver,
    à comparer ensuite avec la courbe d'équation $ x^2 + y^2 = 1$.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • |x|+|y| est la distance de Manhattan entre l’origine et le point de coordonnées (x;y).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Amadou
    Modifié (27 Mar)
    Voici ce que j'ai trouvé après avoir dessiné un graphique. Et je remarque que pour n'importe quelle valeur de $x$ et $y$ qui satisfait cette condition $|x|+|y|=1$, on a toujours $x^2+y^2\leqslant 1$. C'est parce que le carré (en rouge) est contenu dans le cercle qui a un centre en $0$ et un rayon de $1$.

    Maintenant, mon vrai problème est de bien rédiger.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • @nicolas.patrois est-ce une blague !
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • raoul.S
    Modifié (27 Mar)
    Amadou a dit : 
    Voilà, j'ai pensé à élever l'expression au carré mais je ne vois pas comment avancer.

    Oui c'est ce qu'il faut faire. Tu as $1=(|x|+|y|)^2=x^2+y^2+2|x||y|$.

    Donc $x^2+y^2+2|x||y|=1$ tu devrais pouvoir conclure.

  • Non, ce n’est pas une blague.
    Il existe même la distance SNCF.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Amadou, le dessin aide à comprendre pourquoi l'inégalité est vraie, mais il n'a pas valeur de preuve et n'aide au final pas tant que ça à résoudre l'exercice. Le conseil de Raoul S est meilleur, c'est un exercice d'analyse et il faut utiliser des arguments d'analyse.
    Après je bloque.
  • zygomathique
    Modifié (27 Mar)
    @raoul.S : non on peut !!
    $|x| + |y| = 1 \Longrightarrow |x|^2 + |xy| = |x| \Longrightarrow |x|^2 \le |x| $
    de même en remplaçant x par y : $|x| + |y| = 1 \Longrightarrow |xy| + |y|^2 = |y| \Longrightarrow |y|^2 \le |y| $
    et en ajoutant membre à membre : $x^2 + y^2 = |x|^2 + |y|^2 \le |x| + |y| = 1 $
     ;) 
    on peut même s'arrêter à la première implication et ajouter : $ x^2 + y^2 = |x|^2 + |y|^2 \le |x|^2 + 2|xy| + |y|^2 = |x| + |y| = 1 $

    PS : je suis bien d'accord qu'on élève au carré sans élever au carré tout en élevant au carré ... ou presque !!!  :D 

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • J'avoue ne pas avoir compris tout de suite ton message @zygomathique. Mais j'imagine que c'est mon "il faut" qui te dérange. Oui oui, "on peut" aurait été plus approprié...
  • Dom
    Dom
    Modifié (27 Mar)
    Bonjour
    Merci Amadou d’inaugurer ce forum comme tu l’as fait. J’arrive après quelques heures et déjà les réponses sont fructueuses. 
    Génial. 
    Cordialement
    Dom
  • Ça s'est terminé un peu en queue de poisson ceci dit. Il donnait l'impression de vouloir chercher et il a eu sa réponse "toute cuite".
    Après je bloque.
  • La rançon de « l’ouverture » 😏
    Non, on l’a vu s’investir ailleurs sur le forum. Allez. Ça tourne 😀
  • jelobreuil
    Modifié (27 Mar)
    Bonsoir à tous
    Je pense en effet qu'il faut féliciter @Amadou et le remercier pour cette brillante inauguration ! C'est vrai que ce n'est pas un inconnu sur ce forum, mais cela n'enlève rien à son mérite !
    Amadou, je suis sûr que tu continueras à faire vivre ce sous-forum de la meilleure manière qui soit !
    Bien amicalement, JLB
  • Amadou
    Modifié (27 Mar)
    raoul.S a dit :
    Oui c'est ce qu'il faut faire. Tu as $1=(|x|+|y|)^2=x^2+y^2+2|x||y|$.
    Donc $x^2+y^2+2|x||y|=1$ tu devrais pouvoir conclure.
    Merci Raoul, je pensais avoir trouvé mais je trouve une inégalité qui est supérieur ou égal !
    On a
    \begin{align*}
    (|x|+|y|)^2\geqslant 0 & \Leftrightarrow |x|^2+|y|^2\geqslant -2|x||y| \\
    & \Leftrightarrow x^2+y^2+|x|^2+|y|^2\geqslant x^2+y^2-2|xy| \\
    & \Leftrightarrow 2(x^2+y^2) \geqslant (|x|-|y|)^2 \\
    &\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geqslant 0 \\
    & \Leftrightarrow x^2+y^2 \geqslant 1\geqslant 0 
    \end{align*}
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • raoul.S
    Modifié (27 Mar)
    Tu te compliques la vie et je n'arrive pas à te suivre.

    Plus simple : si $x^2+y^2+2|x||y|=1$ alors $x^2+y^2=1-2|x||y|$. Or $1-2|x||y|\leqslant 1$ (pourquoi ?)
  • Amadou
    Modifié (28 Mar)
    @zygomathique j'ai compris tout votre raisonnement sauf le passage de $|x| + |y| = 1 \Longrightarrow |x|^2 + |xy| = |x|$. Car si nous supposons $|x|+|y|=1$ vrai. On a pas toujours $|x|^2+|xy|=|x|$. Si $x=0$ et $y=1$ alors $1=0$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Tu te trompes. Relis bien ton calcul.
  • Dom
    Dom
    Modifié (27 Mar)
    C’est sur cette ligne de calcul où j’ai dû relire plusieurs fois. C’est un excellent réflexe de s’arrêter et de ne pas « lire pour lire ». 
    Tu vas trouver pourquoi c’est vrai.
    Une remarque : la méthode utilisée revient à la démonstration du théorème qui permet de « passer certaines inégalités au carré ». 
  • Amadou
    Modifié (28 Mar)
    raoul.S a dit :
    Plus simple : si $x^2+y^2+2|x||y|=1$ alors $x^2+y^2=1-2|x||y|$. Or $1-2|x||y|\leqslant 1$ (pourquoi ?)
    Pour n'importe quels nombres réels $x$ et $y$, on sait que la valeur absolue d'un nombre est toujours supérieur ou égale à $0$, donc $-2|x||y| \leqslant 0$ si et seulement si $1-2|x||y|\leqslant 1$.

    Votre démonstration, elle ne tient même pas une ligne et en plus hyper facile à comprendre. Je suis sur que je vais pas l'oublier genre comme si c'était le théorème de Pythagore :) .
    raoul.S a dit :
    Tu te compliques la vie et je n'arrive pas à te suivre.
    J'ai déjà obtenu deux méthodes de résolution, ça me suffit. Mais avant tout, j'aimerais savoir ce qui ne va pas avec ma démonstration, juste pour voir, histoire d'apprendre de mes erreurs.

    Merci @zygomatique @raoul.S.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (28 Mar)
    Dom a dit :
    Tu vas trouver pourquoi c’est vrai. 
    Oui j'ai bien compris. En fait, pour que la condition soit vérifiée, les valeurs possibles de $x$ et $y$ doivent être comprises entre $-1$ et $1$ d'apres la représentation graphique ci-dessus. 
    Une remarque : la méthode utilisée revient à la démonstration du théorème qui permet de « passer certaines inégalités au carré ». 
    D'accord ! Elle me semblait incompréhensible au départ, en particulier le passage en question.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • jelobreuil a dit :
    Amadou, je suis sûr que tu continueras à faire vivre ce sous-forum de la meilleure manière qui soit !
    Merci, ça me touche je l'espere aussi ! Ce forum est vraiment le temple du savoir. Hélas que je ne l'ai pas découvert plus tôt pendant mes années d'études secondaire.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Dom
    Dom
    Modifié (28 Mar)
    Non, c’est valable quel que soit $x$ et quel que soit $y$. 
    Soient $x$ et $y$ deux réels (et même deux complexes d’ailleurs) : 
    si $|x|+|y|=1$, alors $|x^2|+|xy|=|x|$.
  • Je vois ! Un prolongement dans $\C$ aussi c'est bien noté, merci @Dom.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou a dit : 
    Mais avant tout, j'aimerais savoir ce qui ne va pas avec ma démonstration, juste pour voir, histoire d'apprendre de mes erreurs.
    Ce passage est faux :  $2(x^2+y^2)\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+y^2 \geqslant 1\geqslant 0$
  • Dom
    Dom
    Modifié (28 Mar)
    Je le dis explicitement désormais : on multiplie par $|x|$ chacun des membres de l’égalité. C’est tout.
  • raoul.S a dit :
    Ce passage est faux :  $2(x^2+y^2)\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+y^2 \geqslant 1\geqslant 0$
    Ok ! Maintenant, je vois pourquoi cette partie est fausse. Merci @Dom, je l'avais remarqué après une révision qu'il ait dit multiplier par $|x|$. C'était pas si compliqué que ça lorsqu'on comprends.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.