Oral CCINP maths 2023 fonctions de 2 variables

OShine

Bonsoir
Il ne manque pas l'hypothèse $f$ est $C^1$ ? 
Je bloque sur Q2.

1) Si $f \in C^1(\R)$, et $t \mapsto t$ est $C^1$ sur $\R$. 
D'après la première règle de la chaîne, $u$ est $C^1$ et $\boxed{\forall a \in \R, \ u'(a)= \frac{\partial f}{\partial x} (a,a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a,a)}$

Si $f \in C^1(\R)$, et $t \mapsto -t$ est $C^1$ sur $\R$. 
D'après la première règle de la chaîne, $v$ est $C^1$ et $\boxed{\forall a \in \R ,\ v'(a)= \frac{\partial f}{\partial x} (a,a) - \frac{\partial f}{\partial y} (a,a)}$

Si $f \in C^1(\R)$, et $(x,y) \mapsto x,y$ est $C^1$ sur $\R^2$. 
Notons $\phi(u,v)=(v,u)$. On a $w_x= f  \circ \phi$.
D'après la deuxième règle de la chaîne, $w_x$ est $C^1$ et  :

• $\forall p \in \R^2, \  \frac{\partial w_x}{\partial u} (p) =\frac{\partial f}{\partial y} ( \phi(p) ) $
• $\forall p \in \R^2 ,\  \frac{\partial w_x}{\partial v} (p) =\frac{\partial f}{\partial x} ( \phi(p) ) $

Bibix

Bonsoir,
Déjà, pour la Q1, $\omega_x$ est aussi une fonction numérique (c'est pour ça qu'elle dépend de $x$). Pour la Q2, $\omega_x$ est strictement croissante donc...

Cyrano

La règle de la chaîne peut s'appliquer dans des cas où la fonction "extérieure" n'est pas $C^1$.

OShine

@Cyrano ok.
@Bibix
Je n'ai pas trop compris.
En fait, je ne vois pas pourquoi $w_x$ est croissante. Comment dériver $w_x$ ? J'ai l'impression que je me suis trompé. 
Pour la deuxième règle de la chaîne, c'est quand on dérive une fonction à 2 variables. Mais ici $w_x$ est à une variable.
Et on ne peut pas utiliser la 1ère règle de la chaîne car il y a du $f(x,y)$.

Bibix

Il n'y a pas vraiment besoin de règle de la chaine pour dériver $w_x$. Par contre, il faut (et suffit de) connaitre la définition de dérivée partielle. Si on tient à utiliser la règle de la chaine, alors il faut fixer $x$ et considérer $\varphi_x : y \longmapsto (x,y)$ puis l'appliquer à $w_x = f \circ \varphi_x$. Mais c'est un peu ridicule de faire aussi compliqué. En tout cas, tu t'es trompé.

JLapin

Dès le début de ta preuve, tu écris des choses un peu au hasard. L’hypothèse manquante ne peut certainement pas être la classe $C^1$ de $f$ sur $\R$.

OShine

Non ce n'est pas au hasard, dans mon livre, tous les théorèmes sont donnés pour des fonctions de classe $C^1$...
Il faut ici que $x \mapsto f(x,y)$ et $y \mapsto f(x,y)$ soient dérivables sur $\R$.

Oui c'est vrai, on a $\boxed{\forall y \in \R \ w_x '(y)= \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)}$.

Pour la question $2$, je ne vois toujours pas.
$\forall y \in \R \ w_x '(y)= \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) > |  \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) |  \geq 0$.
Donc $w_x$ est strictement croissante sur $\R$.
Mais après, blocage.

Bibix

Si tu bloques sur le point de détail $|y_x| \leq |x|$, tu peux faire un dessin. Comme on a $f(0,0) = 0$ et $f(x,y_x) = 0$, ça se voit assez bien.

OShine

Un dessin sur quoi ? 
On veut $y_x \in D(0,|x|)$ j'ai l'impression.
Pas compris pourquoi on aurait $w_x(y_x)=0$.
Je ne vois pas d'où dort le $f(x,y_x)=0$.

Cet exercice me semble très théorique.

OShine

Je ne comprends rien aux questions 2 et 3.
Ça n'a rien a voir avec la vingtaine d'exos que j'ai traités dans le Dunod.
L'exercice me semble bizarre.

Alexique

De toute évidence, tu n'as pas du tout compris l'intérêt de la question 1. Que déduis-t-on sur u' ? sur v' ? sur u ? sur v ? 

OShine

@Alexique
Aucune idée, je ne comprends pas l'intérêt de la question 1.

Bibix

Déjà, as-tu compris quel théorème il fallait utiliser ? Ensuite, il faut se poser la question : de quelles hypothèses j'ai besoin pour l'appliquer ? En quoi la Q1 peut m'aider à vérifier ces hypothèses ?

OShine

Non, je ne vois pas quel résultat utiliser.

zygomathique

Salut
c'est sûr qu'en parlant de "première règle de la chaine" on ne sait pas (vraiment) de quoi on parle
par contre quand on reconnait des fonctions composées on peut alors parler de dérivation de fonctions composées
ainsi par exemple pour u on reconnait la composée : $ u : x \mapsto (x, x) \mapsto f(x, x) $ qui peut aussi s'écrire $ u(x) = f(x, y(x)) $  ave  $ y(x) = x $
je te laisse mettre les ensembles adéquats "au-dessus" ...
et alors : $ du(a) = \dfrac {\partial f} {\partial x} (a, a) dx + \dfrac {\partial f}{\partial y} (a, a) dy = \dfrac {\partial f} {\partial x} (a, a) dx + \dfrac {\partial f}{\partial y} (a, a) dx$ car $ \forall a \in \R : dy(a) = 1 dx $.

Bibix

OShine a dit :

Non, je ne vois pas quel résultat utiliser.

Top ! Je suis un résultat d'existence et d'unicité dans $\mathbb{R}$,

je suis au programme des CPGE (math sup' si je ne m'abuse),

je suis aussi un peu connu des lycéens... un tout petit peu...

je suis, je suis, je suis...

Lirone93

Indice : il y a le mot valeurs dans le théorème dont je suis un corrolaire...
je suis, je suis...

JLapin

Mon premier est un chiffre

Mon deuxième est un élément

Mon troisième est un prénom

Mon quatrième cherche sans trouver

Mon tout est un adjectif

NicoLeProf

1-terre-médhi-erre ?

Intermédiaire, excellent JLapin !!!

OShine

@zygomathique
Pour $u$ et $v$ c'est bien la première règle de de la chaîne, ils sont d'ailleurs déjà traités dans mon livre en exercice et corrigés, le corrigé cite bien la première règle de la chaîne.
Pourquoi revenir dessus ? Je ne comprends pas.

@Bibix
Théorème de la bijection. J'ai déjà pensé à ça mais je n'arrive pas à l'utiliser dans ce cas précis.
Mais on sait juste que $w_x$ est strictement croissante.
On ne sait pas quand $w_x$ est négative ou positive.

OShine

$u(x)=f( \gamma_1(x),\gamma_2(x))$ où $\gamma_1(x)=\gamma_2(x)=x$.
$\gamma_i : \R \longrightarrow \R$ est $C^1$, c'est bien la première règle de la chaîne.

zygomathique

super !!

et qu'est-ce que la règle de la première chaine, de la deuxième chaine ? et France Info correspond à quelle chaine ?

OShine

Je parle de ce résultat que j'ai découvert il y a quelques jours. 

Bibix

OShine a dit :
On ne sait pas quand $w_x$ est négative ou positive.

En fait, il faudrait avoir un truc du genre $f(x,\gamma_1(x)) \geq 0 = f(0,0)$ et $f(x,\gamma_2(x)) \leq 0 = f(0,0)$ avec des fonctions $\gamma_1, \gamma_2$. Mmm... ça me dit quelque-chose... j'ai comme un air de déjà vu.

Héhéhé

La règle de la chaîne est simplement la dérivation des fonctions composées, l'appellation est quand même répandue.
On la trouve même dans les programmes de CPGE: voir par exemple en bas de la page 36 du programme de MPSI/MP2I.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_dérivation_des_fonctions_composées
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./r/reglechaine.html

JLapin

Théorème de la bijection. J'ai déjà pensé à ça mais je n'arrive pas à l'utiliser dans ce cas précis.

@OShine Relance le sujet toutes les 1/2 heures : quelqu'un va craquer et t'écrire une correction de cette question.

Alexique

Moi je vais me contenter de rappeler ceci : 
Tu as montré que $u'(a)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,a)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,a)$ et on sait par hypothèse que $\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,a)>\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,a)\right|$. Que peux-t-on bien en déduire sur $u'(a)$ ? sur $u'$ ? sur $u$ ? Par un raisonnement analogue, que dire de $v$ ? Que dire de $w_x$ ? C'est comme si le sujet avait oublié une question intermédiaire mais comme il s'adresse à des étudiants de spé sérieux et non pas à OS, ça ne serait pas une question discriminante au concours donc elle est implicite.

OShine

Ah merci.

@JLapin
Je crois que j'ai trouvé, en me cassant un peu la tête. J'avoue que ces temps-ci je suis moins inspiré, la fatigue du collège. 

@Alexique
Finalement j'ai eu une idée, grâce à l'indication de @Bibix
Mais en effet, tu as raison, j'ai étudié $u$ et $v$.

2) On a $w_x(x)=u(x)$ et $w_x(-x)=v(x)$.
Or, $u'(x)=\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)+ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) > \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) + | \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)| \geq 0$.
Donc $u$ est croissante sur $\R$ et $u(0)=0$ donc $u$ est croissante sur $\R^{+}$ et $\forall x \in \R^{+} \ w_x(x) \geq 0$.

Par ailleurs, $v'(x)=\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)- \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \leq  | \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)| - \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)  <0  $ 
Donc $v$ est décroissante sur $\R$ et $v(0)=0$ donc $u$ est croissante sur $\R^{+}$ et $\forall x \in \R^{+} \ w_x(-x) \leq 0$.

Ainsi, comme $u_x$ est continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires $\forall x \in \R^{+} \ \exists y_x \in [-x,x] \ w_x(y_x)=0$
Si $x \in \R^{-*}$, alors $\forall x \in \R^{-} \ \ w_x(x) \leq 0 \ \ , \ \ w_x(-x) \geq 0$.
$\forall x \in \R^{+} \ \exists y_x \in [x,-x] \ w_x(y_x)=0$

On a montré : $\forall x \in \R \ \ \exists y_x \in [-|x|,|x|] \ \ w_x(y_x)=0$ ce qui montre le résultat.

Lirone93

OShine a dit :

...
On a montré : $\forall x \in \R \ \ \exists y_x \in [-|x|,|x|] \ \ w_x(y_x)=0$ ce qui montre le résultat.

En étant binaire et rigoureux, je dirais que ça ne répond à la question stricto sensu.
Mais ça doit être un simple oubli de ta part (?).

OShine

Bien vu, je n'ai pas démontré l'unicité.
Ca ne semble pas évident.

Lirone93

Tu as apparemment oublié d'utiliser les données et tu es passé au cas général alors que le contexte de l'exercice est plus précis.  

Tu as tout misé sur le choix arreté d'un théorème ouvrant les portes à la démo de l'exercice, paradoxalement forcément avec les incertitudes de l'alèatoire, alors qu'en général, on fait le contraire, c'est-à-dire qu'on essaie de garder dans un petit coin de sa tête les données de départ ou celles des questions précédentes pour ne pas perdre le fil de l'exercice, ce qui, accessoirement, maximise les chances de trouver le ou un bon théorème à utiliser comme finalement la honne justification à la proposition de la question de l'exercice, à démontrer.

Peut-être avais-tu mal compris ou interprété les indices qui t'avaient été donnés ici sur un théorème mystère ?

OShine

L'unicité provient du théorème de la bijection, car $w_x$ est strictement monotone (croissante).
Pour Q3 je ne vois pas, comment on peut dériver $\varphi$ alors qu'on ne connaît pas $y_x$ ?

Lirone93

J'imagine que si on suit ce qui est dit dans la question, on doit pouvoir trouver une relation ou formule plutôt. Que trouves-tu ?
Commence peut-être le calcul, jusqu'au moment où tu es bloqué.

OShine

Ok merci mais je bloque toujours. J'ai fait des choses mais ça me semble totalement faux. 
L'exercice est déroutant et ne ressemble pas du tout au cours que je viens d'étudier.
On a $w_x (y_x)=0$.
Or $y_x= \varphi(x)$.
Donc $w_x \circ \varphi(x)=0$.
Donc $\varphi '(x) (w_x) '( \varphi(x) )=0$.
Or on a vu que $(w_x)'(\varphi(x))=\frac{\partial f}{\partial \varphi(x)} (x,\varphi(x))$.

Donc $\varphi '(x)= 0$.

Bibix

Effectivement, ça ne va pas. Je pense qu'il vaut mieux partir de $f(x, \varphi(x)) = 0$.

Lirone93

C'est bien ce qu'il a fait :
$f(x, \varphi(x))=w_x (y_x)=0$

Mais ça, ça n'a aucun sens : 
$(w_x)'(\varphi(x))=\frac{\partial f}{\partial \varphi(x)} (x,\varphi(x))$.

Avec $g$ une fonction dérivable d'une variable $x\ \in\ \mathbb{R}$ et $a$ un réel.
Est-ce, ça te viendrait à l'esprit d'écrire :
$g'(a)=\frac{dg}{da}\ (a)$ ?
Ça n'a pas de sens.

Par contre ceci, en a bien : $w_x'(\varphi(x))=\frac{\partial f}{\partial y} (x,\varphi(x))$.

gai requin

Tiens, le théorème des fonctions implicites.

Bibix

Non mais le vrai problème, c'est que $w_x$ dépend de $x$ ! C'est pour ça que je conseille humblement à Oshine de voir $w_x(y_x)$ comme $f(x,\varphi(x))$ qui ressemble plus à ce qu'il a l'habitude de manipuler (et probablement à son cours).

Lirone93

Oui c'est ça, on ne peut pas dériver une expression avec $w_x$ et parler de $w_x\ '$ comme on le ferait avec une autre fonction.

OShine

@gai requin 
Merci pour l'information, ce théorème m'a toujours fait peur. 
Cet exercice de CCINP est loin d'être évident.

Ok merci.
Je me suis en effet perdu dans les notations.
On a $f(x,\varphi(x))=0$.
Si on note $\gamma(x)=(x, \varphi(x))$ on a $f \circ \gamma(x)=0$.
D'après la première règle de la chaîne : 
$(f \circ \gamma)'(x)=\frac{\partial f}{\partial x} (x, \varphi(x))+ \frac{\partial f}{\partial y} (x, \varphi(x) ) \varphi'(x)=0$.
Comme $\frac{\partial f}{\partial y} (x, \varphi(x)) > 0$ d'après l'hypothèse de départ, on en déduit : 
$\boxed{\varphi '(x)= - \dfrac{ \frac{\partial f}{\partial x} (x, \varphi(x) }{\frac{\partial f}{\partial y} (x, \varphi(x)) }}$.

Comment conclure que $\varphi$ est $C^1$ ? 
Si $f$ est $C^1$ la première règle de la chaîne dit que $\varphi$ est $C^1$.
Mais ici on ne sait rien sur $f$.

Lirone93

Pour la continuité de $\varphi'$, je ne vois pas non plus.

OShine

Je pense que l'énoncé est incomplet, ça arrive dans les exercices du site beos.