Contre-exemple difficile à trouver

EtNonLesShills

Affirmation. Soit (E,<=) ensemble totalement ordonné A partie de E, il existe une partie dénombrable D tel que maj(A) = maj(D) avec maj désignant l ensemble des majorants.
Je pense cela faux, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.

raoul.S

Si tu prends $\aleph_1$ (premier cardinal non dénombrable) avec l'ordre induit par $\in$ et $A:=\aleph_1$ alors $\rm{maj}(A)=\emptyset$ mais pour tout sous-ensemble dénombrable $D$ on a $\rm{maj}(D)\neq\emptyset$.

C'est relié à la notion de cofinalité.

EtNonLesShills

Je ne connais pas trop le sujet alors je n'arrive pas à comprendre qu'est-ce que l'ordre induit par ∈, c'est sur les ordinaux dénombrables dont ℵ1 est la limite ?

L'article wiki dit : de même, on peut aller au bout de ℵ1 en ℵ1 pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. Confirmant ce que tu dis après ça ne m'est pas évident pourquoi c'est vrai. Bon au moins j'ai ma réponse merci.

[Il faut que tu fasses réparer ta touche 'apostrophe'. :)AD]

raoul.S

l'ordre induit par ∈, c est sur les ordinaux denombrables dont ℵ1 est la limite ?

Oui.

En gros c'est vrai car si tu as une suite croissante d'ordinaux dénombrables $o_1\in o_2\in o_3\in\dots$ alors $\bigcup_{k=1}^{\infty} o_k$ est un ordinal dénombrable qui majore ta suite (une union dénombrable de dénombrables est dénombrable). Bref, tu trouveras toujours un majorant de $D=\{o_k\mid k\geq 1\}$.