X + X différent de 2X ?

Nan75

Bonjour,
voici un petit problème que je n'arrive pas à élucider. On a les 2 assertions :

1 - L’ensemble E des va discrètes de Ω dans R dont l’espérance est finie est un espace vectoriel
2 - La va X + X est différente de 2X. Facile à vérifier avec une va qui prendrait les valeurs 1, 2 et 3. X + X prend comme valeurs 2, 3, 4, 5 et 6 alors que 2X prend les valeurs 2, 4 et 6.

Mais pourtant si X est aussi un vecteur, on devrait avoir X + X = 2X ?
Il y a un bug dans ma tête... je dois confondre quelque chose... mais quoi ?

Math Coss

Si $Y$ est une v.a. qui a la même loi que $X$ (on peut supposer de plus que $Y$ est indépendante de $X$), alors $X+Y$ peut prendre les valeurs de $2$ à $6$ (et sous l'hypothèse supplémentaire, on peut déduire la loi de la somme de la loi de $X$ ; sinon, que pouic !).

Si $Y=X$, $X+Y$ est la fonction qui envoie un élément $\omega$ de $\Omega$ sur $X(\omega)+X(\omega)=2X(\omega)$. Autrement dit $X+X=2X$, (ça m'étonne que ce soit surprenant).

Foys

En fait on a bien $X+X = 2X$ (édité!!!!!). Par contre il se peut qu'il y ait une seconde variable aléatoire $Y$ différente de $X$ mais de même loi que $X$ et alors $X+Y$ va pouvoir prendre les valeurs que tu dis.

Héhéhé

@Foys Je pense que tu as voulu écrire $X+X=2X$ et non $X+X=X$.

@Nan75 La variable $X+X$ étant définie comme l'application qui à $\omega \in \Omega$ associe $X(\omega) + X(\omega) = 2X(\omega)$ qui est bien égale à l'application $2X$ définie comme l'application qui à $\omega \in \Omega$ associe $2X(\omega)$. Il est impossible que $X+X$ prenne la valeur 5 par exemple.

JLapin

2 - La va X + X est différente de 2X. Facile à vérifier

Très difficile à vérifier au contraire vu que c'est faux.
On a bien $\forall w\in \Omega,\ X(w)+X(w)=2X(w)$ donc $X+X=2X$.

Nan75

Merci pour les réponses, mais je trouve ceci

"Définition : la variable X + Y est la v.a qui prend pour valeurs les sommes de toutes les valeurs possibles de X et de Y."
Plus loin :
"Attention : si X est une v.a, alors la v.a X + X n'est pas égale à la v.a 2X. Exemple une v.a qui prendrait les valeurs 1, 2 et 3.

X + X prend comme valeurs 2, 3, 4, 5 et 6 alors que 2X prend les valeurs 2, 4 et 6."

D'où ma question. Car je suis d'accord que si l'on considère une v.a en tant que fonction on a  ∀w∈Ω,X(w)+X(w)=2X(w) donc X+X=2X.
Mais justement, cela me paraît incompatible avec la définition ci-dessus.

Thierry Poma

Bonjour

La question a déjà fait l'objet d'un long développement sur ce forum dont voici la trace en surface.

Georges Abitbol

Où as-tu lu ça ?

La phrase

Définition : la variable X + Y est la v.a qui prend pour valeurs les sommes de toutes les valeurs possibles de X et de Y.

n'est pas une définition, dans le sens où elle n'est pas utilisable par la personne qui la lit afin de remplacer le truc défini par sa définition (i.e. une définition est une abréviation et sert à dire "à chaque fois que vous lisez ceci, remplacez-le par cela").

Si on veut être vraiment sympa, on peut se dire que la personne qui a écrit cette drôle de phrase pensait à définir $(X : \Omega_1\rightarrow \mathbb{R}) + (Y : \Omega_2\rightarrow \mathbb{R})$ par $(\omega_1,\omega_2) \in \Omega_1 \times \Omega_2 \mapsto X(\omega_1) + Y(\omega_2)$ mais je n'ai jamais lu un livre de probabilités qui s'intéresse à un tel objet.

JLapin

"Définition : la variable X + Y est la v.a qui prend pour valeurs les sommes de toutes les valeurs possibles de X et de Y."

Comment ça, "la" variable aléatoire ...
Il n'y a pas du tout unicité d'un tel objet. Où trouves-tu de telles définitions ?

Héhéhé

Je confirme que ce n'est absolument pas une définition. Des variables aléatoires qui prennent  comme valeurs les sommes de toutes les valeurs possibles de X et de Y, il y en a plusieurs a priori.

Nan75

Réponses.
>> Georges Abitbol : Où as-tu lu ça ?
Ici page 3 : http://www.maths91.fr/coursTermSPE_MATHS/TSp%C3%A9Maths-probabilites-03-cours-loi_des_grands_nombres.pdf 

>> Thierry Poma : j'avais vu ce fil mais l'un des posts me semble intéressant et m'avait échappé, celui de gerard0.
Sinon merci à tous pour vos réponses.

JLT

Le poly est bon pour la poubelle.

JLapin

En tout cas, cette partie est un peu navrante...

noobey

A supprimer

guiguiche

La phrase correcte qui devrait figurer sur ce pdf est : si X et Y ont même loi de probabilité alors la variable aléatoire X+Y n'est pas égale à 2X (confusion habituelle des élèves et des étudiant.e.s puisque dans ce cas iels pensent que X=Y).

SchumiSutil

iels ? Attention !

Par ailleurs, j'ignorais que l'inégalité de Markov était au programme de Terminale Spécialité (je ne l'ai pas remarqué en tout cas cette année en ECG).

guiguiche

iels : c'est fait exprès !

Il me semble que c'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui est au programme de Terminale Spécialité d'après les échanges avec mon épouse. Comme c'était enseigné après le passage des épreuves de bac les années précédentes, aucun élève ne retenait cette inégalité si tant est qu'il était présent en classe au moment où elle était abordée.