Deux segments égaux

Jean-Louis Ayme
Modifié (25 Mar) dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle acutangle tel que AB<AC
2. PQR le triangle orthique
3. (O),(N) les cercles circonscrit, d’Euler
4. S le point d’intersection de [RQ[avec (O)
5. X le point d’intersection de [SH[ avec (N).
Question : AX = AS.
Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (25 Mar)
    Bonjour
    Une figure:

    Cordialement,
    Rescassol
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (25 Mar)
    Merci Rescassol... (E. R.)
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Rescassol
    Modifié (25 Mar)
    Bonjour,

    Avec Morley circonscrit:
    % Jean-Louis Ayme - 25 Mars 2024 - Deux segments égaux
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;  % Conjugués (Morley circpnscrit)
    
    s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c;
    s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Triangle orthique
    p=(s1*a-b*c)/(2*a); pB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB); 
    q=(s1*b-c*a)/(2*b); qB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB); 
    r=(s1*c-a*b)/(2*c); rB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB); 
    
    % Point d'intersection S de (QR) et (O)
    syms s
    NulS=numden(Factor(det([q qB 1; r rB 1; s 1/s 1])/(c^2-b^2)));
    NulS=collect(NulS,s)
    % On trouve:
    % 2*b*c*s^2 - ((b+c)*a^2 - (b^2+c^2)*a + b*c*(s1+a))*s + 2*a^2*b*c = 0
    Delta=Factor(((b+c)*a^2 - (b^2+c^2)*a + b*c*(s1+a))^2-4*(2*b*c)*(2*a^2*b*c));
    Delta=(b+c)*(a-b)*(a-c)*((b+c)*a^2 - (b^2-6*b*c+c^2)*a + b*c*(b+c));
    syms d % Delta=d^2
    s=((b+c)*a^2 - (b^2+c^2)*a + b*c*(s1+a)-d)/(4*b*c); sB=1/s;
    
    h=s1; hB=s1B; n=s1/2; nB=s1B/2; % Orthocentre et centre du cercle d'Euler
    
    % Point d'intersection X de (SH) et (N)
    syms x
    % (z-n)*(zB-nB)=1/4 donc: zB=nB+1/(4*(z-n))
    NulX=numden(Factor(det([s sB 1; h hB 1; x nB+1/(4*(x-n)) 1])));
    Eq1=a^2*b + a^2*c - a*b^2 + 6*a*b*c - a*c^2 + 5*b^2*c + 5*b*c^2 - 8*x*b*c - d;
    Eq2=2*(-s2*d + (b+c)*((b+c)*a^3 - (b^2-3*b*c+c^2)*a^2 + b^2*c^2))*x + ((b+c)*a^2 + (b^2+4*b*c+c^2)*a + b*c*(b+c))*d - (b+c)*((b+c)*a^4 + 6*b*c*a^3 - (b+c)*(b-c)^2*a^2 - 2*b^2*c^2*a + b^2*c^2*(b+c));
    x1=((b+c)*a^2 - (b^2-6*b*c+c^2)*a + 5*b*c*(b+c) - d)/(8*b*c);
    x2=-(((b+c)*a^2 + (b^2+4*b*c+c^2)*a + b*c*(b+c))*d - (b+c)*((b+c)*a^4 + 6*b*c*a^3 - (b+c)*(b-c)^2*a^2 - 2*b^2*c^2*a + b^2*c^2*(b+c)))/(2*(-s2*d + (b+c)*((b+c)*a^3 - (b^2-3*b*c+c^2)*a^2 + b^2*c^2)));
    
    % Vérification de AS=AX
    x=x2; xB=nB+1/(4*(x-n)); % x2 est l'autre point d'intersection
    AS2=Factor((s-a)*(sB-aB)); % AS^2
    AX2=Factor((x-a)*(xB-aB)); % AX^2
    Nul=numden(Factor(AS2-AX2));
    Nul=subs(Nul,[d^4 d^3 d^2],[Delta^2 d*Delta Delta]);
    Nul=Factor(Nul) % nul=0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol
  • Rescassol
    Modifié (25 Mar)
    Bonjour,

    En reprenant le calcul en barycentriques, on peut constater que $AX=AS=\sqrt{S_a}=\sqrt{\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2}}$ (notations de Conway).

    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (26 Mar)
    Bonjour
    Juste un commentaire.

    Soit T = RQ ∩ (O)
    Comme AO ⊥︎ RQ pour tout triangle orthique,
    autrement dit AO est la médiatrice de TS
    ⇒ AT = AS

    Une approche possible serait donc de démontrer que AT = AX.
  • Bonjour,

    synthétiquement, c'est possible....je passe à la rédaction...

    Sincèrement
    Jean-Louis
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