Exercice groupes

Mar0wwa
Modifié (24 Mar) dans Algèbre


Bonjour, ☺️
J'ai du mal à comprendre des passages dans le corrigé de cet exercice, notamment pour la question b).

Pour la première implication, je n'ai pas compris si o(1,1)= o ( z/mz x z/nz , alors Z/mz x Z/nZ = <(1,1)>.
Pour la deuxième implication, j'ai pas compris tout ce qu'a fait le prof.
Merci pour votre aide.👍👍👍

Réponses

  • Il faut que tu fournisses une image plus lisible pour ton énoncé (ou mieux que tu le tapes en LaTeX sur le forum).
  • NicoLeProf
    Modifié (24 Mar)
    Salut,
    pour la 1ère implication, $o(\overline{1},\tilde{1})=mn$ qui est exactement l'ordre (le cardinal ici) de $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Donc tu as un élément : $(\overline{1},\tilde{1})$ qui est d'ordre égal au cardinal du groupe tout entier donc le groupe $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ est cyclique et engendré par $(\overline{1},\tilde{1})$ d'où l'égalité : $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}=<(\overline{1},\tilde{1})>$.
    Pour la deuxième implication, supposons que $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ est cyclique. Comme il est de cardinal $mn$, il est isomorphe à $\mathbb{Z}/mn \mathbb{Z} $.
    Donc il existe un couple $(\overline{x},\tilde{y})$ d'ordre $mn$ qui engendre $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$.
    Dès lors, $o(\overline{x},\tilde{y})=mn=ppcm(o(\overline{x}),o(\tilde{y}))$.
    Si $\overline{x}$ n'est pas d'ordre $m$ dans $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}$ alors il est d'ordre $d <m$. Dès lors, $dn$ est un multiple commun à $o(\overline{x})$ et $o(\tilde{y})$ mais $dn<mn$ qui est le $ppcm$ de $o(\overline{x})$ et $o(\tilde{y})$ donc on a une contradiction !
    Ainsi , $o(\overline{x})=m$ et on démontre exactement de la même manière que $o(\tilde{y})=n$.
    Ainsi, $o(\overline{x},\tilde{y})=mn=ppcm(o(\overline{x}),o(\tilde{y}))=ppcm(m,n)$.
    Donc $pgcd(m,n)=\dfrac{mn}{ppcm(m,n)}=\dfrac{mn}{mn}=1$. Ce qui prouve bien que $m$ et $n$ sont premiers entre eux.
    Edit : l'image de l'énoncé est lisible en l'ouvrant dans un nouvel onglet avec un clic droit.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • JLT
    JLT
    Modifié (24 Mar)
    NicoLeProf a dit
    Edit : l'image de l'énoncé est lisible en l'ouvrant dans un nouvel onglet avec un clic droit.
    Peut-être mais il pourrait avoir au moins la politesse de la mettre dans le bon sens. Et ce serait encore mieux si on pouvait lire directement l'énoncé sans avoir à cliquer.
  • Mar0wwa
    Modifié (30 Mar)
    NicoLeProf
    Aaa d'accord merci beaucoup beaucoup beaucoup.
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
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