TCL pour variables aléatoires non indépendantes

Cette question vient du th.7 de ce texte d'agreg. Si $X_n$ est une suite de variables aléatoires centrées  gaussiennes (voire quelconques) et $\text{cov}(X_i, X_j) < 1/|i-j|^\alpha$, peut-on avoir $ \frac{\sum_n X_n}{\sqrt{n}}$ qui converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne, pour $\alpha$ suffisamment grand ?

Réponses

  • Bibix
    Modifié (24 Mar)
    Bonjour,
    En tout cas, c'est clairement insuffisant pour des variables aléatoires quelconques. En effet, en prenant $Z_i \sim \mathcal{B}(\frac{1}{2})$ indépendantes deux à deux et de $X \sim \mathcal{N}(0,1)$, on pose $X_i = X Z_i$ et on a ${\rm cov}(X_i, X_j) = 0$, mais on a aussi $\sum_i X_i = X \sum_i Z_i$ ce qui fait qu'en appliquant le TCL, on obtient que $\frac{\sum_i X_i}{\sqrt{n}}$ converge en loi vers une loi de Bessel (et non gaussienne).

    Edit : en fait, c'est même faux pour des variables gaussiennes car $X_i \sim \mathcal{N}(0,1)$.
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