Espace localement compact

Blanc

Bonjour
Merci de m'apporter une explication à ce point de cours

raoul.S

Car autrement on pourrait extraire une sous-suite convergente de ta suite $(f_n)$. En effet pour tout $n$, $\|f_n\|_{\infty}=1$. Donc pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe $r >0$ tel que pour tout entier $n$, $r \cdot f_n\in V$. Maintenant imagine que le voisinage $V$ est compact... on pourrait extraire une sous-suite convergente de $(r f_n)_n$ et donc de $(f_n)$.

Blanc

Raoul

je ne comprends pas pourquoi il existe r >0 tel que pour tout entier n   rfn  appartient à V.

raoul.S

Dire que $V$ est un voisinage de $0$ (la fonction nulle) signifie qu'il existe un réel $\varepsilon>0$ et une boule ouverte $B_{\varepsilon}$ de rayon $\varepsilon$ et centrée en $0$ tels que $B_{\varepsilon}\subset V$. Si tu prends pour $r$ le nombre réel $\varepsilon/2$ alors $\|r \cdot f_n\|_{\infty}=r\cdot \|f_n\|_{\infty}=r=\varepsilon/2$. Donc $r \cdot f_n\in B_{\varepsilon}$ et donc $r \cdot f_n\in V$ pour tout $n$.

Faire un dessin est plus parlant : étant donné une boule centrée en l'origine et un vecteur $v$ tu peux toujours faire entrer le vecteur $v$ dans la boule en le raccourcissant assez.

Blanc

Merci beaucoup Raoul