Interprétation d'une formule

Piteux_gore

Bonjour
À quoi correspond, en matière de dénombrement, l'expression $\dfrac{p!q!}{(p+q+1)!}$ si $p, q$ sont des entiers positifs ?
C'est aussi la valeur de $\displaystyle \int _0 ^1 x^p(1 - x)^qdx$.
Chi va piano va sano

Math Coss

C'est à peu de chose près l'inverse d'un coefficient binomial. 

YvesM

Bonjour,
On dispose de boules de billards blanches ($b \geq 0$) et noires ($n \geq 1$).
Les boules noires sont numérotées de $1$ a $n$. Elles ont donc des numéros distincts. 
On les arrange toutes en ligne. Cette ligne contient donc $b+n$ boules. 
Quelles est la probabilité que l'arrangement en ligne soit un arrangement donné (sans tenir compte des numéros) dont la première boule noire (a partir de la gauche) ait un numéro donné ?
La probabilité que la première boule noire ait un numéro donné est $\displaystyle {1 \over n}.$
La probabilité que l'arrangement en ligne soit identique (sans tenir compte des numéros) est $\displaystyle {b! n!\over (n+b)!}$.
On obtient donc $\displaystyle {1 \over n}. {b! n!\over (n+b)!} = {b! (n-1)!\over (n+b)!}$ qui est le résultat demandé pour $\displaystyle p=b \geq 0$ et $\displaystyle q=n-1\geq 0$ qui sont donc des entiers positifs. 

Exemple : 
On a une boule blanche et deux noires.
Le nombre d'arrangement en ligne est $\displaystyle {(1+2)! \over 1! 2!} = 3.$ Ceci correspond aux trois positions possibles de la boule banche : a gauche, au centre ou a droite. 
La probabilité que dans l'arrangement donné la première boule noire ait le numérot $1$ est $\displaystyle {1 \over 6} = {1! (2-1)! \over (1+2)!}.$ Ceci correspond a la moitie des cas puisque la première boule noire est soit numérotée $1$ soit $2.$