Exercice isomorphisme

Mar0wwa
Modifié (22 Mar) dans Algèbre
Salut pour tous le monde
Je n'ai pas compris le corrigé d'une question d'un exercice d'algèbre, c'est la question b exercice 2 .
Voilà la correction de cette exercice : 

Quelqu'un peut me dire le théorème qu'on a utilisé dans le corrigé s'il vous plaît.
Merci d'avance.

Réponses

  • Tu peux vérifier par retour aux définitions ou à ta caractérisation préférée que si $x$ est un élément de $G$ d'ordre $p$ et si $\varphi$ est un isomorphisme, alors $y=\varphi(x)$ est aussi d'ordre fini égal à $p$.
  • Bonjour Mar0wwa, souviens-toi de manière générale que deux groupes isomorphes doivent avoir "la même nature", les mêmes caractéristiques. (Bien sûr, ce que j'écris n'est pas rigoureux, donc à ne pas écrire sur une copie, c'est pour s'en souvenir).
    Ainsi, pour qu'un groupe $G$ soit isomorphe à un groupe $G'$, il doivent avoir les mêmes propriétés. Par exemple, si $G$ est abélien, $G'$ doit être abélien, si $G$ est divisible, $G'$ doit être divisible aussi, si $G$ possède au moins $1$ élément d'ordre $18$, $G'$ aussi doit en posséder au moins un etc.
    Ici, raisonner à l'aide de la notion d'ordre fonctionne bien en effet : 
    $\forall (a,b) \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on a : $6 . (a,b)=0$ donc l'ordre de tout élément de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ divise $6$. Or, $18$ ne divise pas $6$ donc il n'existe pas d'élément d'ordre $18$ dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. 
    Cependant, dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, l'élément $(0,1)$ est d'ordre $18$...
    Donc les deux groupes en question ne sont pas isomorphes !
    P.S : si tu connais les notions de "décomposition primaire" et de "décomposition en facteurs invariants", il peut être plus simple de répondre à ce genre de questions ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • NicoLeProf a dit :
    Bonjour Mar0wwa, souviens-toi de manière générale que deux groupes isomorphes doivent avoir "la même nature", les mêmes caractéristiques. (Bien sûr, ce que j'écris n'est pas rigoureux, donc à ne pas écrire sur une copie, c'est pour s'en souvenir).
    Ainsi, pour qu'un groupe $G$ soit isomorphe à un groupe $G'$, il doivent avoir les mêmes propriétés. Par exemple, si $G$ est abélien, $G'$ doit être abélien, si $G$ est divisible, $G'$ doit être divisible aussi, si $G$ possède au moins $1$ élément d'ordre $18$, $G'$ aussi doit en posséder au moins un etc.
    Ici, raisonner à l'aide de la notion d'ordre fonctionne bien en effet : 
    $\forall (a,b) \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on a : $6 . (a,b)=0$ donc l'ordre de tout élément de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ divise $6$. Or, $18$ ne divise pas $6$ donc il n'existe pas d'élément d'ordre $18$ dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. 
    Cependant, dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, l'élément $(0,1)$ est d'ordre $18$...
    Donc les deux groupes en question ne sont pas isomorphes !
    P.S : si tu connais les notions de "décomposition primaire" et de "décomposition en facteurs invariants", il peut être plus simple de répondre à ce genre de questions ! :)
    Oui c'est compris, merci infiniment.
  • Merci beaucoup 
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