Conservation de coefficients de barycentres

S0_
S0_
Modifié (21 Mar) dans Géométrie
Salut à tous..

On se donne trois cercles $(O_1),(O_2),(O_3)$ qui se coupent tous en $G$ et $H$.
Une droite passe par  $G$ et coupe les trois cercles $(O_1),(O_2),(O_3)$ Respectivement en  $K, N, I$ et une seconde droite passe par $G$ et les coupe en $L, M, J$ respectivement.
Démontrer qu'il existe $a$ un nombre réel tel que
$\vec{KN}=a×\vec{KI}, \vec{LM}=a×\vec{LJ}$ et $\vec{O_1O_2}=a×\vec{O_1O_3}$.

Réponses

  • Bonjour à tous
    Rien de nouveau sous le soleil.
    Il existe une similitude directe de centre $H$ envoyant $(K,I,N)$ sur $(L,J,M)$, voir le Lebossé-Hémery ou tout autre vieux grimoire.
    Et une similitude directe est affine donc conserve les barycentres, etc, etc...
    Amicalement
    pappus

  • S0_
    S0_
    Modifié (22 Mar)
    Salut Pappus,
    Ta réponse est correcte mais comment elle transforme $O_1, O_2$ et $O_3$ ?
    J'ai rigoureusement utilisé Reim comme tu l'affirmes mais pas seulement Reim pour tout..
    Cordialement.
  • C'est pas quand on trouve la réponse à une question on dit qu'il n'y a plus rien sous le soleil..
    En tout cas j'ai encore beaucoup et j'ai posé beaucoup que tu n'as pas pu..
    Et je vais moi-même m'en charger..
    Mon seul objectif est de tout ramener à une mathématiques très très facile à tous..
    Pour moi il y a encore beaucoup à faire

  • S0_
    S0_
    Modifié (22 Mar)
    Ia réponse la plus simple à mon poste :
    Pour la première question : 
    Soit une troisième droite passant par H..
    Cette droite recoupe les cercles en des points et créant des parallèles (Reim)
    Et d'après Thalès les résultats à la question 1 sont là...
    Les centres j'attends d'abord le soir..
  • Ben314159
    Modifié (22 Mar)
    Salut

    Pour une droite (rouge) fixée, $GM=2\big(\!\cos(\theta)GF+\sin(\theta)FO\big) \  $ est une fonction affine de $FO$.
    Donc pour trois cercles de centre $O_1,O_2,O_3$ avec les points $M_1,M_2,M_3$ correspondants, on a $\dfrac{M_1M_2}{M_1M_3}=\dfrac{O_1O_2}{O_1O_3}$ qui ne ne dépend pas de la droite (vu le deuxième terme de l'égalité).
  • Salut ben314159
    Une démonstration parfaite et très simple..
    Bravo..
    Cordialement..
    Bonaventure-S0_

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