Gradient et fonction constante

OShine
Modifié (21 Mar) dans Analyse
Bonjour
1) Soit $f \in \mathcal C^1(\R^2,\R)$ telle que $\nabla f=0$. Montrer que $f$ est constante.
2) Donner un exemple d'ouvert $U$ de $\R^2$ et de fonction $f \in \mathcal C^1(U,\R)$ non constante telle que $\nabla f=0$.
Je ne comprends pas le corrigé de Q2.

Réponses

  • N'oublie pas l'image habituelle avec l'encadré en couleur qui va bien.
  • Titi le curieux
    Modifié (21 Mar)
    Je n'ai pas le corrigé, mais je parie qu'il s'agit d'un ouvert non connexe.
      Si ton domaine est composé de disons deux boules ouvertes (non vides) disjointes et que ta fonction est constante sur l'une et sur l'autre avec deux constantes différentes, le gradient sera nul sur chacune des boules et pourtant la fonction n'est pas constante (puisqu'il existe au moins deux éléments du domaine dont les image par $f$ diffèrent).
  • OShine
    Modifié (21 Mar)
    Pourquoi on parle d'un disque centré en $p$ ?
    Je n'ai pas compris pourquoi le gradient de l'exemple donné est nul, ni le rapport avec ce disque centré en $p$.
  • Soit $p\in U$, est-ce qu'on est d'accord pour dire que si je trouve un ouvert contenant $p$ sur lequel la fonction $f$ est constante, alors le gradient de $f$ est défini et nul en $p$?
      Ils ont pris un disque comme ils auraient pu prendre un carré, parce que c'est un élément d'une base conventionnelle de la topologie usuelle de $\mathbb{R}^2$ auquel on pense tout de suite (sauf moi. J'aime bien les hexagones réguliers, mais ce n'est pas moi qui écrit les exercices d'analyse)
  • On pose pour $x \in U = \mathbb{R}^*$

    $f(x) = 1$ si $x > 0$
    $f(x) = 0$ si $x < 0$

    Que vaut $f'$ sur $U$ ? Est-ce que $f$ est constante?
  • lourrran
    Modifié (21 Mar)
    Est-ce que tu maitrises la notion de dérivée, pour les fonctions réelles ?

    Est-ce que tu sais faire cet exercice : 
    1) Soit $f \in C_1(R,R)$ telle que $f'=0$  Montrer que $f$ est constante.
    2) Donner un exemple d'ouvert $U$ de $R$ et de fonction $f \in C_1(U,R)$ non constante telle que $f'=0$.

    Je pense que tu sais faire cet exercice.
    L'exercice que tu attaques, c'est le même, la copie conforme. Mais en dimension 2.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • JLapin
    Modifié (21 Mar)
    Je pense que tu sais faire cet exercice.


    Oshine ne cherche pas du tout à faire : son but ici est de comprendre un texte mathématique écrit par un quelqu'un d'autre.

     On peut même rêver et imaginer qu'il a réussi à résoudre l'exercice d'une certaine façon puis qu'il a regardé la réponse et n'a simplement pas compris ce qu'il a lu.


  • Soit $p\in U$, est-ce qu'on est d'accord pour dire que si je trouve un ouvert contenant $p$ sur lequel la fonction $f$ est constante, alors le gradient de $f$ est défini et nul en $p$?
      Ils ont pris un disque comme ils auraient pu prendre un carré, parce que c'est un élément d'une base conventionnelle de la topologie usuelle de $\mathbb{R}^2$ auquel on pense tout de suite (sauf moi. J'aime bien les hexagones réguliers, mais ce n'est pas moi qui écrit les exercices d'analyse)
    Pourquoi on cherche un ouvert contenant $p$ ? 
    Il faut juste montrer que le gradient est nul sur $U$...
    Je ne comprends pas à quoi sert la boule qui contient $p$.
  • OShine
    Modifié (21 Mar)
    Sur $]0,+\infty[ \, \ f'(x)=0$.
    Sur $]-\infty,0[ \, \ f'(x)=0$.
    Donc $\forall x \in U = \mathbb{R}^*, \ \ f'(x)=0$ et $f$ n'est pas constante.
  • OShine
    Modifié (21 Mar)
    @lourran
    Question intéressante.

    Soit $f : I \longrightarrow \R$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur l'intérieur de $I$. Si pour tout point de $x$ intérieur à $I$ on a $f'(x) \geq 0$ alors $f$ est croissante.

    Preuve : 
    Supposons $f'$ positive sur l'intérieur de $I$. Soient $(x,y) \in I^2$ avec $x<y$.
    La fonction $f$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]x,y[$ tel que $f(y)-f(x)= (y-x) f'(c)$.
    Comme $(y-x) f'(c) \geq 0$, on a $f(x) \leq f(y)$ donc $f$ est croissante.

    On e déduit que si $f : I \longrightarrow \R$ est une fonction continue et dérivable sur l'intérieur de $I$ avec une dérivée nulle, alors $f$ est constante.

    Preuve : 
    Supposons $f'=0$. En particulier $f' \geq 0$ donc $f$ est croissante. Mais $f' \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
    Donc finalement $f$ est constante.

    La fonction $f$ définie sur l'ouvert $\R^*$ par $f(x)=-1$ si $x<0$ et $f(x)=1$ si $x>0$ est dérivable de dérivée nulle sans être constante.
  • OShine
    Modifié (21 Mar)
    En gros l'analogie ici c'est l'intérieur de $I$ en dimension $1$, c'est la même chose que le disque centré en $p$ ?
  • A priori, les étudiants qui étudient les gradients et les fonctions à 2 variables ont entendu parler de primitive. Dans R, on peut dire que les seules primitives de la fonction nulle, ce sont les fonctions constantes. Fin de la question.

    Toi, tu fais un chapitre à fond, mais tu en connais moins que l'étudiant de L1 sur le chapitre d'à côté. Primitives, topologie ... ce sont des notions utiles dans cet exercice. 

    Je viens de taper 'Introduction à la topologie' sur mon moteur de recherche. Le premier document qui apparaît est ce polycopié de 137 pages, pour des étudiants en licence.
    Page 3 sur un total de 137 pages, donc au tout début, on lit : ce qu'on appelle une boule en général, quand on travaille dans R, c'est un intervalle.

    C'est la culture que doit avoir tout étudiant de L1.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    Je savais quand même qu'une boule était un intervalle dans $\R$. C'est le minimum à retenir, j'ai du passer 1 mois à étudier la topologie des espaces vectoriel normés. 
    Et j'ai des souvenir qu'il y a $3$ boules unités dans $\R^2$, qui dépendent de la norme.
    J'aime bien la topologie.
  • JLapin
    Modifié (1 Apr)
    Pourquoi seulement trois boules ?
  • Il y en a peut-être plus, mais je me souviens en avoir étudié 3 qui correspondent  à la norme 1, norme  et norme infinie.
    J'avais même demandé de l'aide sur le forum pour comprendre les dessins. 
  • Il y a une infinité de normes sur $\mathbb R^2$. Car il y a une infinité de produits scalaires.
    Ah, j'oubliais, tu n'as pas encore étudié le bouquin de Spé qui parle des espaces euclidiens !
  • Ah je ne le savais pas, c'est bon à savoir.
  • Plus simple : tu prends une norme que tu connais et qu'on note par exemple $\|.\|$. Alors pour tout $\alpha>0$, $\alpha \cdot \|.\|$ est une norme. Il y a donc une infinité de normes...
  • @raoul.S
    Ok merci. 
  • gerard0
    Modifié (1 Apr)
    Inconvénient, Raoul.S, elles ont toutes les mêmes boules. Alors qu'avec le produit scalaire <(x,y),(z,t)> = xz+2yt on obtient déjà une boule qui n'est pas l'une des trois que connaissait O S.
    Cordialement.
  • Certes, mais j'avais cru que le but était de montrer qu'il y a une infinité de normes.
  • Oui, tu as raison.
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