Droites parallèles avec les points de Fermat

Bouzar
Modifié (21 Mar) dans Géométrie
Bonjour,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle avec ses deux points de Fermat $F_1,F_2$. Soient $F_1^*, F_2^*$ les conjugués isogonaux de $F_1,F_2$ par rapport au triangle médial de $ABC$. Prouver que $F_1F_1^*\parallel F_2F_2^*$.
Montrer que le résultat est toujours valable si on remplace triangle médial de $ABC$ par tout triangle cévien $DEF$ d'un point $P$ sur l'hyperbole de Kiepert $\mathcal{K}$ de $ABC.$
Amicalement.

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (24 Mar)
    Bonsoir,

    En barycentriques, l'hyperbole de Kiepert a pour équation $(c^2-b^2)yz + (a^2-c^2)zx+(b^2-a^2)xy=0$,
    donc pour équation tangenielle $p_1^2u^2+q_1^2v^2+r_1^2w^2-2p_1q_1uv-2p_1r_1uw-2q_1r_1vw=0$
    (Ici: $p_1=c^2-b^2, q_1=a^2-c^2, r_1=b^2-a^2$).
    Les points de Fermat ont pour coordonnées $x=a^4-2(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2+4rS)$, et permutation circulaire, où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés du triangle $ABC$, $S$ son aire, et $r=\pm\sqrt{3}$.
    L'isogonal $[X;Y;Z]$ d'un point $[x; y; z]$ par rapport au triangle cévien du point $P[u; v; w]$ est donné par
    $X=(uvz+uwy-vwx)((T+2S_au^2vw)x + 2u^2(vz-wy)(S_bv-S_cw))$ et permutation circulaire où
    $T=a^2v^2w^2 + b^2u^2w^2 + c^2u^2v^2$, $S_a=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2}$ etc... (notations de Conway).
    On sait déjà que les points de Fermat sont sur l'hyperbole de Kiepert.
    Il est alors facile de calculer l'isogonal $F_1^*$ de $F_1$ (par exemple), puis la droite $(F_1F_1^*)$, puis constater qu'elle vérifie l'équation tangentielle ci-dessus
    Cette droite est donc tangente en $F_1$ à l'hyperbole. Il en est de même pour $F_2$.
    Enfin $X_{115}$ est à la fois le centre de l'hyperbole et le milieu de $[F_1F_2]$.
    Les deux tangentes à l'hyperbole sont alors symétriques par rapport à $X_{115}$ donc parallèles.
    $G$ étant sur l'hyperbole, le cas particulier s'en déduit.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Rescassol
    Modifié (24 Mar)
    Bonsoir
    Et une figure :

    Cordialement,
    Rescassol
  • Bonjour Rescassol et merci pour ta contribution.
  • Rescassol
    Modifié (25 Mar)
    Bonjour
    Effectivement, les deux tangentes à l'hyperbole  de Kiepert aux points de Fermat sont parallèles à la droite d'Euler du triangle $ABC$.
    Cordialement,
    Rescassol
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