Inégalités avec sup et inf

parhasard

Bonjour
Math pour le plaisir uniquement en amateur....
Je me pose la question suivante

Soit un ensemble A à valeur dans R qui admet un min et un max, on peut toujours écrire (sans trop se tromper) que.
Pour tout x de A, min A =< x =< max A
Dans ce cas précis, on a par définition du min et du max
(1)  Inf A =< x =< Sup A (égalité du min et max avec inf et sup)

Ma question.
L'inégalité (1) est-elle encore valable si on a pas l'égalité avec le min et le max ?
Merci
Belle journée.

zygomathique

Salut
l'ensemble $A = [0, 1]$ a-t-il un min, un max, un $\sup$, un $\inf$ ?

Même question avec l'ensemble $B = ]0, 1[$.

La proposition $ x > a \Longrightarrow x \ge a$ est-elle vraie ?
La proposition $ x \ge a \Longrightarrow x > a$ est-elle vraie ?

Zermel0

Il faut que A soit majorée et non vide pour qu'elle admette une borne supérieure.

Non vide et minorée pour avoir une borne inférieure.

Puisque la borne supérieure est le plus petit des majorants, c'est en particulier un majorant, on a : $\forall x \in A,\ x \leq \sup(A)$.
De même la borne inférieure est le plus grand des minorant, c'est un minorant, on a $\forall x \in A, \ \inf(A) \leq x$

On a donc ton inégalité.

parhasard

L'ensemble A = [0, 1] a-t-il un min, un max, un sup, un inf ? A est un fermé. Par définition, il atteint son min et max définis respectivement par 0 et 1.
Dans ce cas, il y a égalité des min et max avec sup et inf

Même question avec l'ensemble B = ]0, 1[. Ici B admet une borne inf B=0 et une borne sup  B=1.

La proposition x>a⟹x≥a est-elle vraie ?
OUI VRAIE

La proposition x≥a⟹x>a est-elle vraie ?
NON FAUSSE il manque dans l'implication x=a

parhasard

@Zermel0

Merci pour la réponse 

zygomathique

Le but n'est pas de me répondre, le but est de répondre pour que tu te répondes (à tes questions).
Peut-on écrire (est-ce vrai) : 

$ \forall x \in A : x \ge 0$
$ \forall x \in A : x > 0$
$ \forall x \in B : x \ge 0$
$ \forall x \in B : x > 0$

parhasard

@zygomathique
C'est bon) Grâce à ton intervention et à celle de Zermel0, je vais pouvoir avancer....le but derrière ma question est de pouvoir démontrer des égalités et inégalités avec sup(A+B) etc.