Une propriété du point de Kosnita

Bouzar
Modifié (20 Mar) dans Géométrie
Bonjour
Je propose ce problème.
Soit un triangle $ABC,$ $(O)$ son cercle circonscrit, $K$ son point de Kosnita, $H$ son orthocentre.
Montrer que la droite d'Euler du triangle podaire $DEF$ de $H$ par rapport à $ABC$ est parallèle à la droite $(OK)$.

Amicalement

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (20 Mar)
    Bonjour,

    En barycentriques:
    % Bouzar - 20 Mars 2024 - Une propriété du point de Kosnita
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    % Notations de Conway
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa; S2=Sab+Sbc+Sca;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
    O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
    % Orthocentre du triangle ABC
    H=[Sbc; Sca; Sab];
    % Triangle podaire de H par rapport au triangle ABC
    D=[0; Sca; Sab]; E=[Sbc; 0; Sab]; F=[Sbc; Sca; 0];
    % Point de Kosnita du triangle ABC
    K=[a^2/(S2+Sb*Sc); b^2/(S2+Sc*Sa); c^2/(S2+Sa*Sb)];
    % Droite d'Euler du triangle DEF
    EulerDEF=DroiteEuler(D,E,F,a,b,c);
    % On trouve EulerDEF=
    % [(b^2-c^2)/(a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2),
    %  (c^2-a^2)/(b^2*(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2), 
    %  (a^2-b^2)/(c^2*(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]]
    OK=Wedge(O,K);
    % On trouve OK=
    % [b^2*c^2*(b^2-c^2)*(a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2), 
    %  c^2*a^2*(c^2-a^2)*(b^2*(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2), 
    %  a^2*b^2*(a^2-b^2)*(c^2*(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]
    M=Wedge(EulerDEF,OK);
    % On trouve M=
    % a^2*(b^2*c^2-4*Sa^2)*(a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2);
    % b^2*(c^2*a^2-4*Sb^2)*(b^2*(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2);
    % c^2*(a^2*b^2-4*Sc^2)*(c^2*(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2)
    NulM=Factor(sum(M)) 
    % NulM=0, donc ce point est à l'infini et (OK) est parallèle 
    % à la droite d'Euler du triangle DEF.
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour Rescassol et merci pour ta contribution.
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