Convexité, intérieur, adhérence

Barjovrille

Bonjour, il est connu que si $C \subset \mathbb{R}^n$ et $C$ convexe, alors pour tout $(x,y) \in int(C) \times adh(C)$ et pour tout $\lambda \in ]0,1]$, $\lambda x + (1-\lambda)y \in int(C)$. Est-ce que ce résultat tiens toujours dans des cas plus général ? Comme un espace vectoriel topologique sans norme par exemple ?

$int$ et $adh$ représente l'intérieur et l'adhérence respectivement et $\mathbb{R}^n$ est muni de sa topologie usuelle.

Ben314159

Salut,
Il me semble bien que ça continue à marcher : 
Modulo une translation, on peut supposer que $x\!=\!0$.

Soit $t\!\in\,]0,1[$ et $D\!=\!y-\frac{1-t}{t}C$.  Comme $y\!\in\!\mathring{D}$ et que $y\!\in\!\overline C$ on a $C\!\cap\!D\!\not=\!\emptyset$. 
Si $z_1\!\in\!C\!\cap\!D$ alors $z_1\!=\!y-\frac{1-t}{t}z_2$ avec $z_2\!\in\!C$ donc $t y\!=\!t z_1\!+\!(1\!-\!t) z_2\in C$.

Barjovrille

Bonjour, 
Merci @Ben314159
 Pour vérifier si j'ai bien compris.
Tu affirmes que $y \in \mathring{D}$, le voisinage de $y$, $V_y \subset D$, c'est celui la : $V_y=y- \frac{1-t}{t} \mathring{C}$ ? (en supposant que $0 \in \mathring{C}$).

Et tu as dis $ty \in C$. Pour conclure on dit que si $ty \in C$ alors pour tout $x \in \mathring{C}$, $(1-t)x + ty \in \mathring{C}$, car en notant $V_x \subset C$ un voisinage de $x$ (celui de la définition de point intérieur) alors $(1-t)V_x + ty \subset C$ est un voisinage de  $(1-t)x + ty$.
C'est bien ça ?

geo

Question peut être bête, mais comment définis-tu tes voisinages dans un espace vectoriel sans norme ?

Barjovrille

Bonjour @geo,
Pour avoir une notion de voisinage il faut définir une topologie sur ton ensemble. Tu prends un ensemble $X$ et il faut un sous ensemble de $P(X)$ (l'ensemble des sous ensembles de $X$) $ \tau$ qui contient $X$ et l'ensemble vide, qui est stable par réunion quelconque et intersection finie, l'ensemble $\tau$ ce sont les ouverts de ta topologie et tu définis un voisinage d'un point $x$ c'est un ensemble qui contient un ouvert qui contient $x$.
Le couple $(X,\tau)$ est un espace topologique. Dans la démonstration de Ben, on ne prend pas n'importe quel type d'espace topologique, on se place dans le cadre des espaces vectoriels topologiques. Par définition c'est un couple $(X, \tau)$, où $X$ est un espace vectoriel et il y a une contrainte sur la topologie, c'est que les applications : $X \times X \to X$ (l'addition entre deux vecteurs) et $\mathbb{K} \times X \to X$ (la multiplication par un scalaire) doivent être continues (pour les topologies produits) si $\tau$ respecte ces contraintes alors le couple $(X,\tau)$ est un espace vectoriel topologique.
Et quand tu as une structure d'espace vectoriel topologique les translations et les dilatations sont des homéomorphismes (c'est un des points clé de la preuve ci-dessus).

Les notions d'espace topologique et espace vectoriel topologique sont plus générales que la notion d'espace normé ou métrique car toute les topologies ne sont pas métrisables (en gros il y a des topologies qui ne peuvent pas être décrite à l'aide d'une distance ou d'une norme).

Ben314159

Oui, le voisinage de $y$, c'est bien $y-\frac{1-t}{t}\mathring{C}$.
Vu que les applications $x\mapsto\lambda x$ (avec $\lambda\!\not=\!0$) et $x\mapsto x_o+x$ sont des homéomorphismes (à cause de ce que tu as rappelé), l'intérieur de $D\!=\!y-\frac{1-t}{t}C$ c'est $y-\frac{1-t}{t}\mathring{C}$.

Concernant la suite de ton message, je n'avais pas fait gaffe qu'il fallait montrer que $ty$ est dans l'intérieur de $C$, mais ce n'est pas très difficile de finir : pour tout  $z\!\in\!\mathring{C}$ le résultat qu'on a déjà montré prouve que $ty+(1\!-\!t)z\in C$ donc $ty+(1\!-\!t)\mathring{C}\subset C$ ce qui montre qu'il y a bien tout un voisinage de $ty$ qui est contenu dans $C$ donc que $ty\!\in\!\mathring{C}$.

Barjovrille

Merci @Ben314159 !

Ben314159

Sinon, pour répondre à géo, à mon sens l'exemple le plus simple (et le plus connu) d'espace vectoriel topologique qui n'est pas un espace vectoriel normé, c'est celui des fonctions de $\R\to\R$ muni de ce qu'on appelle en général (et comme par hasard...) la "topologie de la convergence simple".
Dans ce cas, pour une fonction donnée $f:\R\to\R$, un voisinage de $f$, c'est la donnée d'un nombre fini de réels $x_1,x_2,\dots,x_n$ et d'un $\varepsilon\!>\!0$ puis, les fonctions $g:\R\to\R$ qui sont dans le voisinage en question sont celles telles que $|g(x_i)-f(x_i)|<\varepsilon$ pour tout $i$.
On peut vérifier que c'est bien une topologie (compatible avec la structure d'e.v.) et, pour cette topologie, dire qu'une suite de fonctions $(f_n)_n$ converge vers une certaine fonction $f$, ça signifie très exactement que, pour tout réel $x$, la suite  $\big(f_n(x)\big)_n$ converge vers $f(x)$.
Bref, tout ça pour dire que cette topologie là, ça fait un moment que tu la manipules (sans savoir que c'est une topologie . . .)

raoul.S

Un plus simple mais nettement moins intéressant c'est un espace vectoriel muni de la topologie grossière. Par exemple $\R$ muni de la topologie grossière.

geo

@Barjoville Je connais un peu de topologie, de fait tout ce que tu as décrit. Mais justement je posais la question car ce n'était pas précisé. D'ailleurs, dans celle que tu évoques, de mémoire, il ne faut pas oublier que l'application opposée est aussi continue car un EV possède en premier une structure de groupe. Donc il faut vérifier avant que c'est un groupe topologique et ensuite que la loi externe vérifie bien les axiomes.

Bonne journée.

raoul.S

geo a dit : 
il ne faut pas oublier que l'application opposée est aussi continue 

Étant donné, comme rappelé par Barjovrille, que $\mathbb{K} \times X \to X$ est continue, il s'ensuit que l'application "opposée" $X\to X, x\mapsto -x$ est automatiquement continue.