Écrits Capes 2024 : vos impressions ?

tinem

Bonjour,

Une discussion pour parler des sujets du capes.

Une personne pourrait-elle poster les sujets ? Merci.

Zermel0

Salut
Je prendrais en photo plus tard si je n'ai pas la flemme. Il ne se trouve pas sur Internet ?

Personnellement je suis très déçue du sujet mais plus encore, je suis déçue de moi.
J'ai trouvé le VRAI/FAUX nettement plus dur que les autres années.

Quelques remarques :
Il y avait la vieille notation des proportions j'étais surprise, heureusement j'ai l'habitude de ça, c'est devenu commun maintenant ?
La question était : Si les angles d'un triangles sont en proportions 1 : 2 : 3 alors le triangle est rectangle ?

Il y avait une question de géométrie que j'ai trouvé "difficile". Aussi montrer que les triplets pythagoriciens ont toujours un élément divisible par 5, etc.
(fun fact : j'avais aidé hier des marocaines que j'encadre au Morrocan Tournament of Young Mathematicians et il y avait cette question, petite pensée pour elles pendant l'épreuve).

J'ai planté deux questions au VRAI/FAUX : La 4 qui disait "est-ce que l'intégrale de exp(-t^2) sur (0,1) est inférieure à 1 - 1/e ? Je n'ai pas penser à dire t^2 < t sur (0,1).

Et celle sur les points fixes de permutations... Je ne l'ai juste pas cherchée et laissée à plus tard. Je sais que les dérangements c'est difficile alors j'étais surprise.

Pour le problème j'étais furieuse :
- Il y avait trois questions qualitatives de ce style (en plus on ne sait pas dans quel sens va la spirale... ça m'a perturbée pour la 31)

Il y avait un calcul dégueulasse que j'ai abandonné h(x) = f(f(x)) - x avec f(x) = 5x(1-x)/2.

Il fallait aussi faire un dessin, sans annexe, on devait refaire le dessin... C'était laborieux quand on voit la vitesse de convergence...
Mais le truc qui m'a vraiment agacée c'est :

Les calculs de v1, v2, v3, v4 étaient désagréables. Mais alors v10... Je n'avais pas de calculatrice programmable ni même graphique.

Quelques remarques annexes : 

- il y a v10 mais les 10 premiers termes vont jusqu'à v9. Pourquoi "En déduire" ? v9 suffit pour avoir v10... 

Plein de petites imprécisions comme ça.

Ah oui et une limite avec un "n" au lieu d'un "t". J'ai hésité d'être de mauvaise foi et de dire que la limite quand n croit de y(t) c'est... y(t). 

Je ne vais pas mentir, l'enchaînement "calculette programmable" "dessin débile" et "gros calcul" des questions 11, 12 et 13 m'ont tellement agacée que j'ai hésité à me lever et partir...
Ah si, on est d'accord qu'une matrice de passage dans une diagonalisation n'est pas unique ?
Car ça indiquait "Montrer qu'on peut diagonaliser" puis "Montrer que P = ...".
Dans la copie j'ai écris "P convient" à la place. Mais je n'ai pas précisé les erreurs d'énoncés...
Bref, déçue x2.

Globalement.
J'ai un Vrai/Faux faux, un pas répondu. J'ai le gros calcul de pas fait. Et j'ai l'étude qualitative de la 30 je sais pas ce qu'il fallait dire... Ah si j'ai aussi le calcul de v10 j'ai précisé sur la copie que je n'avais pas la possibilité de le faire...
Ma copie est très propre par contre, très bien rédigée, réponses soulignées avec très peu de ratures.
J'espère avoir 18. 

tinem

Je te remercie pour ce premier retour.
En ce qui concerne ta première question : il s'agit de ratio et oui maintenant on enseigne ça au collège.
Je regarderai les autres questions plus en détails.
Bon courage pour demain.

joquinenc

Il y avait donc du Lotka-Volterra ou Renard-Lapin ? Une valeur sûre ...

Zermel0

Je m’intéresse aux mathématiques grecques dans mes cours il vaudrait mieux que je sois à l’aise avec la notion de ratio mdr.
Je reste très déçue.

ojsanssimpson

Epreuve un peu chiante, vraiment différent de l'esprit de l'agregue
On dit qui peut le plus peut le moins pas forcément vrai
Les épreuves d'agregue certes plus durs sont plus abstraites et quelque fois ça convient mieux à un esprit comme @Zermel0, alors que les petits calculs CHIANTS sans calculette..
Vive l'abstraction de l'agregue
OJ

Zermel0

Non mais je ne parle pas de réussir ou non. En dehors d’une question que je soupçonne ratée et d’une question dont j’ai honte d’avoir ratée j’ai tout fait. Ah non y’a le gros gros calcul de ses morts aussi…

Je critique le sérieux de l’épreuve. Les erreurs d’énoncés, les questions discriminatoires sur calculette ou non, les interprétations de graphe… 

Non mais la question 27 qui dit que la matrice de passage dans une diagonalisation est unique… qu’il faut démontrer sa valeur… 

Le pire sujet de capes que j’ai vu… 

Quand il y a eu le calcul de 4 valeurs à la calculette, puis faire un dessin sans annexe absolument immonde, puis devoir programmer sur calculette pour juste voir que ça converge vers 60%… puis un gros calcul, le tout à la suite… Je ne vais pas mentir j’ai failli me lever et rentrer. Ce qu’a dit Gai Requin résonnait fort en moi mdr. Bon j’avais envie d’écrire un truc insultant je me suis retenue… Les sujets sont ils relus ? On dirait un examen écrit à l’arrache 2 semaines avant parce que le mec a oublié…

Le vrai/faux était bien par contre, un peu plus challengeant. Même si je soupçonne toujours la question de l’espérance des points fixes des permutations difficiles… surtout au capes.

gerard0

Euh... pour enseigner les "calculs chiants" il faut savoir les faire 
Et il y en a plein en prépa.
Cordialement. 

tinem

La calculatrice est autorisée il me semble non ?

Zermel0

gerard0
C’est pas un calcul chiant comme en prépa. C’est juste un calcul. Long. Niveau collège. Mais très long.

La calculatrice est autorisée… mais elle n’avait jamais été imposée. J’allais pas mettre 100 euros pour ça. Maintenant je regrette un peu… Quoi que 100 euros ne valent pas 1 point…

[Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]

gerard0

Non, tu n'es pas sérieuse. C'est un calcul assez élémentaire pour celle qui parle d'enseigner.

Zermel0

De quel calcul tu parles @gerard0 ?

Chaurien

J'aimerais bien voir le texte de l'épreuve, mais les extraits me navrent. Ça ne ressemble guère à ce qu'on appelle un problème de mathématiques de ce niveau. « Reproduire le graphique » : l'an prochain, ce sera : colorie-le en bleu ? Sans remonter au CAPES que j'ai passé en 1971, autant dire au Moyen-Âge ,  il me semble avoir vu encore de vrais problèmes de mathématiques, présentant un vrai intérêt mathématique, même au XXIème siècle.

$~~$ Je suis certain que Zermel0 va être reçue parmi les premiers. Mais sans jouer au rabat-joie, si c'est pour se retrouver devant une classe comme par exemple récemment Renée-Marie Albertini, ce n'est pas le rêve pour une jeune Française cultivée. Avec ses capacités, c'est l'agrégation qu'elle devra viser sans tarder, avec les plus grandes chances de succès.

Gaëtan Ramos

Ça n'a pas l'air chouette. Je l'avais passé en 2015, et une deuxième fois en 2017 pour le CAFEP, c'était déjà pas terrible. Mais là on a l'air d'atteindre des sommets. Ce que tu dis Zermel0 sur les erreurs d'énoncé est vraiment incroyable, et depuis quand les calculatrices sont autorisées - sans même parler de "nécessaires" - dans une épreuve de mathématiques au-dessus de la terminale ? Effectivement, vive l'abstraction de l'agreg !

J'attends avec impatience les photos du sujet complet, si tu veux bien nous les donner, sans t'embêter. On ne le trouve pas sur internet parce qu’apparemment le ministère n'a pas assez de personnel administratif pour l'uploader le jour même (sarcasme).

Zermel0

Voici pour toi @Chaurien et les autres.

Gaëtan Ramos

Merci ! Bon courage pour demain !

Zermel0

Je n'ai même pas envie d'y aller.
Je me sens souillée.

Je commence à vouloir me contenter de l'agrégation, même si les écrits sont passés sans que je les prépare je peux l'avoir avec un rang moyen... Mais du travail...
Surtout depuis que Gai Requin m'a dit que je pouvais aller dans le privé sans le CAFEP...

Chaurien

Puisque tu as commencé, continue. Tu vas réussir, et là tu pourras choisir. Allez, bon courage !

Etienne91

La question 6 du vrai / faux me paraît étrange : déjà on définit une suite sans dire à quel ensemble appartienne ses termes (vu ce qui suit j’imagine que c’est une suite réelle), et vu l'ordre des quantificateurs j’ai l’impression qu’aucune suite réelle ne satisfait ce critère 

Zermel0

Certes. Mais l'épreuve de demain je ne sais pas tellement à quoi ça ressemble.

Quand je vois que je dois commenter des spirales et faire des dessins quand je suis censée faire des mathématiques, je suis inquiète de l'épreuve "pédagogique".

Puis les oraux...
Je préfèrerais une khôlle à l'ancienne.

Zermel0

@Etienne91

Oui j'ai dis :

Soit n0 un tel entier, on a pour tout A, n0 supérieur ou égal à n0 donc u(n0) plus grand que A, donc un0 est un majorant de R. Impossible.

C'est pour les inattentifs qui n'ont pas vu l'interversion...

Gaëtan Ramos

C'est difficile de s'astreindre aux choses médiocres quand on préfère les choses chouettes. Tout ça a vraiment un aspect "réchauffé", comme une vieille boîte de conserve. Le pire - ou le plus drôle, c'est selon - c'est le sérieux absolu et exagéré de tous les acteurs du concours, comme si l'exagération de la forme allait compenser l'absence de contenu. Comme disait 'Poléon (peut-être), il n'y a que dans une armée en déroute qu'on cite son grade toutes les demi-heures. Mais m'écoute pas et vas-y quand même ! Si ça peut t'aider, ma strat' dans ce genre de situations c'est de le prendre comme une corvée de vaisselle sale: puisque ce n'est pas censé être des maths, on ne se sent pas souillé par le fait que ça n'en est pas.

Etienne91

@Zermel0 mais alors l’assertion : « toute suite qui vérifie cette assertion tend vers $+\infty$ » est vraie non ? Comme aucune suite ne vérifie cette assertion ? Sauf si $(u_n)$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ ?

Zermel0

Hmmm tu as raison @Etienne91

C'est extrêmement tricky mais formellement... c'est VRAI.

Juste dans l'esprit de l'épreuve je ne sais pas si on peut parler des propriétés sur l'ensemble vide.

Mince je regrette ma réponse.

eoghan

Pour la question 6, je vais peut-être dire une bêtise mais si $(u_n)$ vérifie

$$ \exists n_0 \in \mathbb{N} \: ; \: \forall A \in \mathbb{R} \: ; \: n \in \mathbb{N}, \: (n \geq n_0 \implies u_n \geq A) \quad (1)$$

Elle vérifie en particulier

$$ \forall B \in \mathbb{R} \: ; \: \exists n_0 \in \mathbb{N} \:  ; \: n \in \mathbb{N}, \: (n \geq n_0 \implies u_n \geq B ) $$

Donc l'assertion est vraie, non ?
Pour le dire autrement, l'implication $(1) \implies \lim \, u_n = + \infty $ est vraie, même si aucune suite ne vérifie (1).

Et puis faux => ce que l'on veut, non ? Est-ce que je me trompe ?

Edit : devancé par @Etienne91

Zermel0

@Gaëtan Ramos
Ne nous méprenons pas. Je ne critique pas le NIVEAU de l'épreuve en lui-même.
On ne peut rien y faire...
Ils ont besoin de environ 1000 profs par an et ils en recrutent que 700 avec une barre d'admission à 8.
Si on augmente le niveau il faudra soit recruter encore moins de profs et creuser le besoin, soit recruter à 6... ce qui revient à recruter les mêmes candidats.

Non ce que je critique cette année c'est :
- Les questions fausses ou tordues
- La façon dont le sujet est amené très "maths appli" (j'ai eu l'impression d'être à un vieux sujet de sup de physique par moment)
- La nécessité de la calculatrice (ce que j'appelle une discrimination en fait... surtout quand nous ne sommes pas prévenus), que ce soit une aide ok, une obligation, non.

J'ai raté quelques questions je suis mal placée pour donner des leçons au niveau de l'épreuve :
Question 4 du QCM (oui je n'ai pas vu le t^2 < t honteusement)
Question 22 du QCM -----> ça par contre si quelqu'un sait la réponse... Car ça me paraît hautement non trivial et ça n'a rien à foutre avec le reste du sujet. Ou alors un truc m'échappe...
Question 13 du problème, j'e nai pas eu le courage de finir le calcul qui était plus compliquée que prévu pour faire rentrer le 25 etc.
Question 11 du problème (il fallait une calculatrice programmable, en plus je soupçonne une confusion dans l'énoncé)
Question 12 du problème : mon dessin est moche.
Question 30 du problème : j'ai parlé de cyclicité, je n'avais d'abord pas compris que la spirale allait vers l'extérieur, je ne sais pas si je devais en parler sachant que c'est la question 31.

Et apparemment pour la suite "non définie" ça ne passera pas, je suis dégoûtée, peut-être j'ai écrit d'autres bêtises ailleurs.
Mais je soupçonne que ce n'était pas attendu qu'on parle de propriétés d'ensemble vide... ça me paraît tricky, vraiment.

Je pense descendre ma note vers 16 de manière plus crédible.
Je répète car je veux VRAIMENT savoir.
Comment on fait ça :

Etienne91

$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Il me semble qu’avec la formule de Burnside tu peux montrer que le nombre moyen de points fixes d’une permutation de $\S_n$ est $1$ mais je dois vérifier

JLT

C'est l'espérance du nombre de points fixes d'une permutation. Soit $X=\{(\sigma,k)\mid \sigma(k)=k\}$.
On a $|X|=\sum_k (n-1)!=n!$.
D'autre part $|X|=\sum_\sigma |\mathrm{Fix}(\sigma)|$. On en déduit que $E(\mathrm{Fix}(\sigma))=\frac{1}{n!}\sum_\sigma |\mathrm{Fix}(\sigma)|=1$.

SchumiSutil

Notant $\sigma(i)$ la boule placée dans l'urne $i$ et ce pour tout $i$ dans $\{1, \ldots, n\}$, $\sigma$ est évidemment une bijection de $\{1, \ldots, n\}$ dans lui-même, i.e. une permutation.  Il y a donc $n!$ configurations possibles qui est donc l'univers de probabilité.

Notant $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de coïncidences,  $X$ est à valeur dans $\{0, \ldots, n\}$. 

Si $k$ est un élément de ce dernier ensemble, $[X = k]$ est l'ensemble des permutations de  $\{1, \ldots, n\}$ possédant exactement $k$ points fixes. Il reste à dénombrer toutes ces permutations. 

Zermel0

Car j'avais un début de solution.

On prend (k parmi n) fois le nombre de dérangements de (n-k) éléments. Mais le nombre de dérangement ça me parait difficile à justifier ici rapidement.
Alors j'ai pensé que ce n'était pas comme ça.

Après réflexion j'aurai dû insister... Je pense c'était ce qui était attendu.
Ça me parait un peu hors-sol par rapport au reste du sujet...

Zermel0

Merci @JLT
Je n'aurai pas trouvé sans savoir...

JLapin

On peux noter $X_k$ la variable de Bernoulli qui renvoie $1$ si $k$ est un point fixe d'une permutation aléatoire $\sigma$, vérifier que $E(X_k)=P(X_k=1)=\dfrac{1}n$ et conclure par linéarité de l'espérance.

MrJ

Pour tout $n\in\N$, notons $d_n$ le nombre de permutations sans point fixe d'un ensemble à $n$ éléments. Si $X_n$ désigne le nombre de points fixes de la permutation choisie uniformément dans $\S_n$, on a
$$E(X_n) = \sum_{k=0}^{n} k P(X_n=k) = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} \dfrac{d_{n-k}}{n!} = \sum_{k=1}^n \dfrac{d_{n-k}}{(k-1)! (n-k)!} = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{d_{n-1-k}}{k! (n-1-k)!} = \sum_{k=0}^{n-1} P(X_{n-1} = k) = 1.$$

eoghan

Comment fait-on pour la question 15 ?

Dans un plan affine euclidien, on considère une triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE. 

On a BE = DC.

J'arrive à me convaincre que l'assertion est vraie via un dessin, mais je ne parviens pas à la démontrer.

SchumiSutil

C'est effectivement plus difficile que de se poser la question "3 est-il un multiple de 9 ?"...

Zermel0

@eoghan
Personnellement, j'ai fait avec les carrés scalaires, tu développes, tu as cosinus qui est paire donc pas besoin d'angle orienté et tu as deux angles égaux qui vont bien. 3 ou 4 lignes mais je me sens sale de ne pas avoir fait une belle preuve euclidienne.
Pardon Euclide.

Jaymz

Le but de cette épreuve, avec l'écrit 2 et les 2 oraux, n'est pas de faire de "belles mathématiques" mais de recruter de futurs enseignants en collège-lycée. L'objectif est donc de discriminer les je ne sais combien de présents aux deux épreuves écrites, il me semble que cette épreuve et celle de demain feront le travail dans ce sens. 
Bon courage à toutes celles et ceux qui passent donc les épreuves, et notamment @Zermel0 qui, à n'en pas douter, a largement le niveau pour être dans le premier décile, et peut-être même le premier décile du premier décile. 

eoghan

@Jaymz
Vu les rapports du jury du CAPES, l'écrit 2 et l'oral 2 (pas le leçon, l'entretien) ne sont pas discriminant.
75% des candidats ont eu au moins 8 à l'écrit 2 (épreuve disciplinaire appliquée) et 75% des admissibles ont eu au moins 9 à l'oral 2 (épreuve d'entretien) en 2023.
Je rappelle que la barre d'admission est à 8 (si elle est reconduite cette année).

Zermel0

Je me répète mais je ne critique pas le niveau de l'épreuve en elle-même.

Les questions fausses et les questions "qualitatives" principalement, sans parler de la "calculette".

JLT

La rotation de centre $A$ et d'angle $60^\circ$ envoie $[DC]$ sur $[BE]$.

eoghan

Juste une remarque, il ne semble pas y avoir beaucoup de notion post-bac.

L'immense majorité du sujet est faisable en utilisant les notions vues en terminale spé maths + maths expertes.

Jaymz

@eoghan
Oui, d'après le quartile 1, tu as raison pour l'épreuve 2 de l'écrit mais si tu regardes le graphique après, tu as une belle gaussienne, donc j'ai bien envie de dire que c'est discriminant ! Cette gaussienne est moins marquée pour l'épreuve 1 d'ailleurs mais on voit quand même une belle discrimination.

placebooo

Bon, pour ma part, j'ai trouvé l'épreuve assez longue. J'ai écrit sans discontinuer et peu de blocages (j'ai sauté quand je ne savais en pensant y revenir à la fin), mais j'ai pourtant utilisé tout le temps et je suis arrivé à peine à la fin;

Petit recap de mes réponses qui ne sont pas forcément bonnes d'ailleurs - je vous dis simplement ce que j'ai fait) :

Problème 1
Q1 : Faux, m=5 ou m=-5 (après équation et définition d'un tableau de proportionnalité, il existe un k non nul etc...)
Q2 : Faux, évolutions successives. classique
Q3 : Faux, attention à mettre l'évolution du rayon au carré...
Q4 : je savais faire mais j'ai oublié donc j'ai sauté.. (c'était faux il me semble)
Q5 : Vrai, intégration par parties puis opérations sur les limites
Q6 : je me disais qu'il y avait un problème, le truc me paraissait à l'envers. bref j'ai sauté.
Q7 : Faux, et démontré de 2 manières : raisonnement par l'absurde comme pour 1/3, puis 0.272727272727 x 11 ne vaut pas 3.
Q8 : Faux, contre exemple avec racine de 2 et racine de 8
Q9 : Faux, j'ai mis n impair implique n² impair mais je ne suis pas sûr de ça.
Q10 : Faux, contre exemple avec 15 : 1+5=6 divisible par 3 mais 15 pas divisible par 9
Q11 : Faux, contre exemple avec a=14, b=5 et n = 18. 28 congru à 10 mod 18 , mais 14 pas congru à 5 mod 18
Q12 : Faux, démontré de 2 manières : contre exemple avec 1+3+5+7 = 16 différent de 81, puis en introduisant sommes des termes d'une suite arithmétique
Q13 : pas trouvé
Q14 : Vrai, ratio 1:2:3 + somme des angles = 180° donnent 30/60/90 après calcul
Q15 : Vrai, démontrés avec la règle du "2+1" des triangles égaux;
Q16 : Vrai, vecteurs directeurs non colinéaires + recherche d'un point d'intersection par résolution du système. Le point existe. Je pense qu'il y avait plus simple en remarquant que les x et y étaient les mêmes.
Q17 : Vrai, j'ai cherché une équation cartésienne de ABG, puis j'ai montré que les coordonnées de K vérifiaient l'équation
Q18 : Vrai, 2^n parties de E, et 2^(n-1) parties de E sans a; donc la différence 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) parties avec a. Donc autant.
Q19 : je me suis embrouillé donc j'ai sauté
Q20 : j'ai oublié la loi de Poisson
Q21 : Vrai, démontré avec la définition de P(A) x P(B) = P(A inter B ) , et la propriété P(A inter B ) = P(A) + P(B) - P(A U B ), et la formule de probas contraire + loi de Morgan
Q22 : pas fait
Q23 : Vrai, J'ai expliqué l'algo de dichotomie (je ne savais pas quoi faire d'autre) ligne par ligne et pourquoi on faisait ça. J'ai hésité à mettre faux parce qu'ils ont mis > au lieu de >= dans le while mais bon..

Donc Q4/6/13/19/20/22 non faites. Le reste je n'ai pas l'impression d'avoir dit des bêtises.
Je serai heureux de lire vos commentaires

Problème 2 :
Q1 : dérivation, étude du signe de la dérivée, maximum en 1/2 qui vaut a/4
Q2 : je crois que j'ai démontré par récurrence. vn+1=fa(vn) , fa intervalle image [0; a/4], v0 appartient à ]0;1[ donc ok
Q3 : théorème du point fixe?
Q4 : résolution de f(l)=l, 2 valeurs, mais on élimine la valeur qui n'est pas dans [0,1]
Q5 : étude du signe de ga par tableau de signes après avoir factorisé par x. On trouve comme valeur-charnière (a-1)/a pour le 2e membre et l'énoncé nous dit que c'est négatif, donc on peut faire le tableau de signes sur ]0;1[, négatif
Q6 : vn+1-vn = f(vn)-vn = g(vn), négatif sur ]0;1[, donc vn décroissante
Q7 : théorème de convergence monotone (décroissante d'après Q6 et minorée par 0 d'après Q2). limite = 0 d'après Q4
Q8 : extinction de la population selon ce modèle. Ne pas oublier que la suite de la population est un = vn x M

Q9 : résolution de f(x)=x : j'ai trouvé 0 et 3/5
Q10 : j'ai explicité le premier calcul pour v1, puis ensuite j'ai recopié ma calculatrice pour v2, v3, et v4. On n'attendait clairement pas de calcul à la main ici vu les valeurs et le fait de demander à 10^-3. Par contre @Zermel0, ca ne nécessitait absolument pas de calculatrice graphique ou programmable. Une simple utilisation de la touche Ans ou Rép d'une calculatrice collège (selon les modèles) permet de calculer les termes d'une suite définie par récurrence de la forme un+1=f(un).
Ici il te suffisait de taper :
1/2, entrée
puis 5/2 * ans * (1-ans), entrée
puis entrée, entrée, entrée... pour obtenir chaque terme. Idem jusqu'à v10 pour la question suivante.
Q11 : algorithme classique avec un for. J'ai été embrouillé par "qui calcule les 10 premiers termes" puis ils demandent v10. Ce n'est pas cohérent. Du coup j'ai fait un algo qui par de v0 et calcule de v1 à v10 En plus ils ne disent pas ce que doit retourner cet algorithme. On veut qu'il retourne v10, ou qu'il affiche tous les termes jusqu'à v10? Du coup j'ai mis juste un return (v) mais j'ai précisé que l'énoncé ne disait pas ce que l'on voulait afficher, donc que s'il fallait afficher tous les termes, il fallait plutot mettre un print(v) dans la boucle for. Enoncé peu précis..
Q12 : j'ai reproduit le dessin par transparence (lol), puis indiqué où se lisent v1, v2, v3, v4. C'est serré.
Q13 : calcul classique d'une composée. Pas de difficulté particulière ici, ça m'a pris 6 lignes pour développer fof(x)-x, puis d'autre part développer leur expression et montrer que l'égalité est vérifiée. Je ne comprends pas le problème @Zermel0
Q14 : résoudre h(x)=0
Q15 : tableau de signes ultra classique.
Q16 : comprendre que fof(vn)=f(vn+1)=vn+2 Donc le signe de vn+2-vn nous donne les variations de v2n. et vn+2-vn = fof(vn)-vn = h(vn) et le signe a été étudié en Q15
Q17 : théorème de convergence monotone + théorème du point fixe
Q18 : J'ai pas eu le temps de le démontrer mais j'ai dit que le principe était le meme que pour Q16/Q17 en partant de v1 pour étudier la suite des termes impairs de vn
Q19 : la population tend vers 3/5 M car un = vn x M

Q20a : mettre au même dénominateur, puis par identification, alpha = 1/M et beta = 1/M aussi.
2e partie de la question : prendre l'équation (2), tout passer à gauche, diviser par (M-y(t)) en justifiant non nul, puis séparation de la fraction grâce à l'égalité précédente
Q20b : y'(t)/y(t) donne ln(y(t)) (car y(t) >0) puis le deuxième membre est de la forme k u'/u avec k=-1 et u=M-y(t), donc ln(M-y(t)) et a donne at.
Q21 : pas eu le temps de la faire
Q22 : cimer la faute n au lieu de t.... Le sujet n'a pas été relu c'est honteux (il manquait aussi d'ailleurs un r au "démontrer" de la Q5....)
Factorisation puis simplification en haut et en bas par ce^aMT, puis opération sur les limites. On trouve M
Q23 : La population tend vers un maximum M...

Q24a : Xn+1 = A x Xn c'est claqué..
Q24b : démonstration par récurrence en multipliant par A "par la gauche"
Q25a : résolution de det(A-lambda Id) =0 On trouve un PSD dont le delta vaut -4 alpha ². Les valeurs propres trouvées sont 1-alpha*i et 1+alpha*i
Q25b : r = module de lambda = module de mu = racine (1+alpha²) . J'ai trouvé theta = arctan(alpha) mais je ne suis plus sûr et je n'ai pas vu que ce n'était pas demandé.
Q26 : diagonalisation de matrices. J'ai dit que les valeurs propres étaient distinctes et det A différent de 0, j'ai l'impression d'avoir dit nimp ici
Q27 : P formé par les vecteurs propres (pas fait, j'ai déconné je m'en veux), mais P-1 déterminé par résolution du système P x P^-1 = Id avec P^-1 = (a,b,c,d)
Q28 : démontré par récurrence en multipliant par A par la gauche et éliminant les P^-1 x P = Id
Q29 : pas fait
Q30 : j'ai dit que ce modèle tend à faire disparaitre les proies car les prédateurs les chassent, puis les prédateurs car il n'y a plus de proies et sont affamés (contraintes du milieu, ressources etc..) On voit que la spirale va vers (0,0). Bref j'ai baragouiné
Q31 : pas fait je n'avais plus le temps.

Donc Q18/21/27~/29/31 pas fait. (ou mal)

Que pensez-vous de tout ça ?
Merci de vos retours.

Zermel0

placebooo a dit :

Bon, pour ma part, j'ai trouvé l'épreuve assez longue. J'ai écrit sans discontinuer et peu de blocages (j'ai sauté quand je ne savais en pensant y revenir à la fin), mais j'ai pourtant utilisé tout le temps et je suis arrivé à peine à la fin;

Oui, la 2022 j'avais fini avec 2h d'avance, la 2023 avec 1h30 d'avance, là je suis restée jusqu'à la fin. Je parle de tests chez moi, je n'avais jamais passé le CAPES.

Petit recap de mes réponses qui ne sont pas forcément bonnes d'ailleurs - je vous dis simplement ce que j'ai fait) :

Problème 1
Q1 : Faux, m=5 ou m=-5 (après équation et définition d'un tableau de proportionnalité, il existe un k non nul etc...)
Q2 : Faux, évolutions successives. classique
Q3 : Faux, attention à mettre l'évolution du rayon au carré...
Q4 : je savais faire mais j'ai oublié donc j'ai sauté.. (c'était faux il me semble)

C'est faux en partant de t^2 =< t on a le contraire à droite

Q5 : Vrai, intégration par parties puis opérations sur les limites
Q6 : je me disais qu'il y avait un problème, le truc me paraissait à l'envers. bref j'ai sauté.

C'est le cas, mais la question est tricky, cf la discussion plus haute.

Q7 : Faux, et démontré de 2 manières : raisonnement par l'absurde comme pour 1/3, puis 0.272727272727 x 11 ne vaut pas 3.
Q8 : Faux, contre exemple avec racine de 2 et racine de 8

Q9 : Faux, j'ai mis n impair implique n² impair mais je ne suis pas sûr de ça.

C'est ça. Même si formellement on admet que non-(n pair) est n impair...

Q10 : Faux, contre exemple avec 15 : 1+5=6 divisible par 3 mais 15 pas divisible par 9
Q11 : Faux, contre exemple avec a=14, b=5 et n = 18. 28 congru à 10 mod 18 , mais 14 pas congru à 5 mod 18
Q12 : Faux, démontré de 2 manières : contre exemple avec 1+3+5+7 = 16 différent de 81, puis en introduisant sommes des termes d'une suite arithmétique
Q13 : pas trouvé

Ce n'est pas si facile. Personnellement je ne me suis pas embêtée, les carrés des non nules sont soit 1 soit 4.

Donc si b et c ne sont pas divisibles par 5 alors b^2 + c^2 appartient à 2 (1+1), 0 (1+4) ou 3 (4+4) (mod. 5).

Or a^2 appartient à 0, 1 ou 4.

Donc a^2 appartient à l'intersection des deux (car a^2 = b^2 + c^2)

Donc a^2 = 0, et seul 0 a pour carré 0, donc a = 0 (mod. 5).

J'ai cherché une méthode jolie, en vain.

Q14 : Vrai, ratio 1:2:3 + somme des angles = 180° donnent 30/60/90 après calcul
Q15 : Vrai, démontrés avec la règle du "2+1" des triangles égaux;

C'est quoi "2+1" ?

Q16 : Vrai, vecteurs directeurs non colinéaires + recherche d'un point d'intersection par résolution du système. Le point existe. Je pense qu'il y avait plus simple en remarquant que les x et y étaient les mêmes.
Q17 : Vrai, j'ai cherché une équation cartésienne de ABG, puis j'ai montré que les coordonnées de K vérifiaient l'équation
Q18 : Vrai, 2^n parties de E, et 2^(n-1) parties de E sans a; donc la différence 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) parties avec a. Donc autant.
Q19 : je me suis embrouillé donc j'ai sauté

Ma réponse était : "Les chemins les plus courts ont une longueur de 10, on doit monter 3 fois, on peut choisir n'importe quand, donc on fait (3 parmi 10).

Q20 : j'ai oublié la loi de Poisson

Je connaissais qu'une formule incomplète (u^k/k! puis j'ai retrouvé le reste en disant que c'était une proba, j'en ai déduis l'espérance et le reste de la question...). Je n'ai jamais fait de proba post-bac...

Q21 : Vrai, démontré avec la définition de P(A) x P(B) = P(A inter B ) , et la propriété P(A inter B ) = P(A) + P(B) - P(A U B ), et la formule de probas contraire + loi de Morgan
Q22 : pas fait

C'est la question que j'aurai pas trouvé... Je la trouve très dure. Limite un peu "hors-sol" par rapport au reste du sujet...

Q23 : Vrai, J'ai expliqué l'algo de dichotomie (je ne savais pas quoi faire d'autre) ligne par ligne et pourquoi on faisait ça. J'ai hésité à mettre faux parce qu'ils ont mis > au lieu de >= dans le while mais bon..

Ah ici, j'ai dis "Vrai" d'abord, puis j'ai vu que m n'était pas dans la boucle, alors j'ai un doute...

Donc Q4/6/13/19/20/22 non faites. Le reste je n'ai pas l'impression d'avoir dit des bêtises.
Je serai heureux de lire vos commentaires

Problème 2 :
Q1 : dérivation, étude du signe de la dérivée, maximum en 1/2 qui vaut a/4
Q2 : je crois que j'ai démontré par récurrence. vn+1=fa(vn) , fa intervalle image [0; a/4], v0 appartient à ]0;1[ donc ok
Q3 : théorème du point fixe?

Continuité de f, oui, fin je ne sais pas ce que tu appelles théorème du point fixe...

Q4 : résolution de f(l)=l, 2 valeurs, mais on élimine la valeur qui n'est pas dans [0,1]
Q5 : étude du signe de ga par tableau de signes après avoir factorisé par x. On trouve comme valeur-charnière (a-1)/a pour le 2e membre et l'énoncé nous dit que c'est négatif, donc on peut faire le tableau de signes sur ]0;1[, négatif

Me semble que j'avais une astuce plus rapide que leur indication... 

Q6 : vn+1-vn = f(vn)-vn = g(vn), négatif sur ]0;1[, donc vn décroissante
Q7 : théorème de convergence monotone (décroissante d'après Q6 et minorée par 0 d'après Q2). limite = 0 d'après Q4
Q8 : extinction de la population selon ce modèle. Ne pas oublier que la suite de la population est un = vn x M

Q9 : résolution de f(x)=x : j'ai trouvé 0 et 3/5
Q10 : j'ai explicité le premier de calcul pour v1, puis ensuite j'ai recopié ma calculatrice pour v2, v3, et v4. On n'attendait clairement pas de calcul à la main ici vu les valeurs et le fait de demander à 10^-3. Par contre @Zermel0, ca ne nécessitait absolument pas de calculatrice graphique ou programmable. Une simple utilisation de la touche Ans ou Rép selon les modèles permet de calculer les termes d'une suite définie par récurrence de la forme un+1=f(un).
Ici il te suffisait de taper :
1/2, entrée
puis 5/2 * ans * (1-ans), entrée
puis entrée, entrée, entrée... pour obtenir chaque terme. Idem jusqu'à v10 pour la question suivante.

Je n'y ai pas pensé... En fait je n'ai pas utilisé de calculatrice depuis 2005... J'espère que le programme prévaut sur l'exécution.

Q11 : algorithme classique avec un for. J'ai été embrouillé par "qui calcule les 10 premiers termes" puis ils demandent v10. Ce n'est pas cohérent. Du coup j'ai fait un algo qui par de v0 et calcule de v1 à v10 En plus ils ne disent pas ce que doit retourner cet algorithme. On veut qu'il retourne v10, ou qu'il affiche tous les termes jusqu'à v10? Du coup j'ai mis juste un return (v) mais j'ai précisé que l'énoncé ne disait pas ce que l'on voulait afficher, donc que s'il fallait afficher tous les termes, il fallait plutot mettre un print(v) dans la boucle for. Enoncé peu précis..

Je suis d'accord, j'ai précisé que les 10 premiers termes sont v0, ..., v9 pour ma part.

D'ailleurs, j'ai return une LISTE perso. Rien n'était clair.

Je crois avoir calculé v(n) récursivement personnellement, je préfère. Mais c'est débile, je savais pas s'ils voulaient la liste ou pas...

Car si oui, c'est peu efficace, ça donne O(n^2) appels récursifs... bref.

Q12 : j'ai reproduit le dessin par transparence (lol)

Tu es un génie.

Q13 : calcul classique d'une composée. Pas de difficulté particulière ici, ça m'a pris 6 lignes pour développer fof(x)-x, puis d'autre part développer leur expression et montrer que l'égalité est vérifiée. Je ne comprends pas le problème @Zermel0

Oui, mais j'ai une dyscalculie qui m'embête... Je me suis trompée dans un développement alors j'ai laissé tomber. Evidemment qu'il n'y a aucune difficulté.

Q14 : résoudre h(x)=0
Q15 : tableau de signes ultra classique.
Q16 : comprendre que fof(vn)=f(vn+1)=vn+2 Donc le signe de vn+2-vn nous donne les variations de v2n. et vn+2-vn = fof(vn)-vn = h(vn) et le signe a été étudié en Q15
Q17 : théorème de convergence monotone + théorème du point fixe
Q18 : J'ai pas eu le temps de le démontrer mais j'ai dit que le principe était le meme que pour Q16/Q17 en partant de v1 pour étudier la suite des termes impairs de vn 

On peut tricher en disant que v(n+1) = f(vn) et passer à la limite ^^

Q19 : la population tend vers 3/5 M car un = vn x M

Q20a : mettre au même dénominateur, puis par identification, alpha = 1/M et beta = 1/M aussi.

J'ai fait une astuce en faisant +z/M - z/M lol.

2e partie de la question : prendre l'équation (2), tout passer à gauche, diviser par (M-y(t)) en justifiant non nul, puis séparation de la fraction grâce à l'égalité précédente
Q20b : y'(t)/y(t) donne ln(y(t)) (car y(t) >0) puis le deuxième membre est de la forme k u'/u avec k=-1 et u=M-y(t), donc ln(M-y(t)) et a donne at.
Q21 : pas eu le temps de la faire

La primitive de 0 est une constante K, il suffit de poser c = exp(K) et de résoudre l'équation en y.

Q22 : cimer la faute n au lieu de t.... Le sujet n'a pas été relu c'est honteux (il manquait aussi d'ailleurs un r au "démontrer" de la Q5....)
Factorisation puis simplification en haut et en bas par ce^aMT, puis opération sur les limites. On trouve M

On peut être de mauvaise foi et répondre que la limite est y(t) ahah

Q23 : La population tend vers un maximum M...

Q24a : Xn+1 = A x Xn c'est claqué..
Q24b : démonstration par récurrence en multipliant par A "par la gauche"
Q25a : résolution de det(A-lambda Id) =0 On trouve un PSD dont le delta vaut -4 alpha ². Les valeurs propres trouvées sont 1-alpha*i et 1+alpha*i

Ne faites pas des discriminants pour du a^2 - b^2 ou du a^2 + b^2 par pitié

Q25b : r = module de lambda = module de mu = racine (1+alpha²) . J'ai trouvé theta = arctan(alpha) mais je ne suis plus sûr et je n'ai pas vu que ce n'était pas demandé.

En effet si alpha est strictement positif, tu avais le bon argument theta ne t'en fais pas.

Q26 : diagonalisation de matrices. J'ai dit que les valeurs propres étaient distinctes et det A différent de 0, j'ai l'impression d'avoir dit nimp ici

C'est l'idée oui, si tu as des racines simples distinctes tu es diagonalisable. Par contre le det(A) n'a rien à voir ici.

Q27 : P formé par les vecteurs propres (pas fait, j'ai déconné je m'en veux), mais P-1 déterminé par résolution du système P x P^-1 = Id avec P^-1 = (a,b,c,d)

L'énoncé tel quel est faux, tu as rien qui garanti l'unicité de P... Par exemple si tu as P qui convient alors 2P convient, etc. La droite engendrée par P convient...

Q28 : démontré par récurrence en multipliant par A par la gauche et éliminant les P^-1 x P = Id
Q29 : pas fait

J'avais gagné du temps en parlant de partie réelle et imaginaire à la question 27... Donc j'ai repris l'idée et ça va vite.

Sinon juste faire le calcul fonctionne...

Q30 : j'ai dit que ce modèle tend à faire disparaitre les proies car les prédateurs les chassent, puis les prédateurs car il n'y a plus de proies et sont affamés (contraintes du milieu, ressources etc..) On voit que la spirale va vers (0,0). Bref j'ai baragouiné

C'est ce que je reproche à cette putain de question ! La spirale va dans l'autre sens mais rien de l'indique... Honteux ce sujet.

En fait à la question 31 on démontre justement qu'il n'existe pas de solutions bornées (xn et yn sont sur un cercle de rayon strictement croissant) et j'avais envie d'écrire "bah et le dessin ?" puis j'ai compris que la spirale va dans l'autre sens. J'ai aussi baragouiné un truc sur les proies prédations... On se croirait en physique.

Q31 : pas fait je n'avais plus le temps.

On trouve r^(2n)(x0^2 + y0^2) or r = sqrt(1 + a^2) > 1 donc xn et yn sont sur des cercles de rayons strictement croissants, ils ne peuvent pas être bornées, donc un et vn non plus. J'ai conclus en disant que ce n'était pas pertinant car les populations ne peuvent pas croitre à l'infini... Aucun idée de ce qu'ils veulent dans ce genre de questions de merde.

Donc Q18/21/27~/29/31 pas fait. (ou mal)

Que pensez-vous de tout ça ?

Merci de vos retours.

placebooo

Les règles que j'appelle "2+1" à mes élèves (je leur dis juste que c'est un moyen de s'en souvenir, mais interdit d'écrire " d'après la règle du 2+1", je leur demande de citer la propriété utilisée) , ce sont ces deux propriétés : 
- Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur alors ils sont égaux. 
- Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux.

Je te répondrai au reste demain 
Merci pour tes commentaires en tout cas et à demain!

placebooo

eoghan a dit :

Comment fait-on pour la question 15 ?

Dans un plan affine euclidien, on considère une triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE. 

On a BE = DC.

J'arrive à me convaincre que l'assertion est vraie via un dessin, mais je ne parviens pas à la démontrer.

J'ai utilisé la propriété des triangles égaux pour les triangles ADC et ABE énoncée dans le message précédent.

AlainLyon

@Zermel0 https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2471037/#Comment_2471037
Merci de donner un lien avec un pdf fait à partir d'une photocopie faite à plat : c'est plus lisible pour tous

[Merci de ne pas recopier les messages déjà présents sur le forum. AD]

placebooo

Zermel0 a dit :

Voici pour toi @Chaurien et les autres.

Ça a été fait quelques messages plus loin @AlainLyon .......

Zermel0

@AlainLyon

Je ne pouvais pas faire autrement si tu es pas content demande à quelqu’un d’autre. C’est déjà gentil que j’ai montré le sujet alors que je le trouve nulle part, surtout que j’étais occupée hier avec ma copine.

@placebooo

non non il parle bien du PDF juste j’ai pris les photos d’un angle de vue un peu oblique… alors il gueule.

i.zitoussi

Comme certains, je trouve la question 6 du Vrai-Faux très très étrange.  La question semble concerner les suites $(u_n)$ réelles (on est obligé de le supposer car ce n'est pas explicité). Et la propriété décrit quoi exactement ?
Les suites qui ne sont pas définies à partir d'un certain rang $n_0$ ? La question du comportement en l'infini ne se pose alors pas.
Les suites qui sont mal définies ? Dans ce cas, quel intérêt à la question ??
Comme c'est tordu !

Dom

Suite dans « $\bar{R}$ ».
Oui, c’est tout de même pénible que ce soit au candidat de deviner. 

On se doute que tout candidat qui aura évoqué quelque chose de l’ordre « la suite a des valeurs infinies » aura des, voire les points. 

Question de logique : 
si une suite est supposée réelle et vérifiant la propriété de l’énoncé. 

Comme il n’en existe pas, alors « c’est vrai qu’elle tend vers l’infini ». 

Sauf erreur.