Rudiments de logique (L1)

Amadou
Modifié (19 Mar) dans Fondements et Logique
Bonjour, bonsoir !
Alors, en arithmétique au lycée, on nous a dit que cette notation $\equiv$ s'appelle "congruence". Mais là, dans mon cours, il est dit que c'est aussi une "équivalence".
Donc, j'aimerais savoir n'y a-t-il pas une différence entre les deux symboles $\Leftrightarrow$ et $\equiv$ ? Est-ce qu'on peut les utiliser simultanément ?
Je sais que j'ai mes limites, donc s'il vous plaît, explique-moi ça avec des mots simples. Si vous pensez que je ne suis pas encore prêt à comprendre ce concept, vous pouvez l'ignorer. Je ne veux pas m'embrouiller les choses. 
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • Zermel0
    Modifié (18 Mar)
    Ce n'est pas la même notion d'équivalence.
    Il y a :
    - un opérateur entre deux propositions dont le résultat est vrai ssi les deux propositions sont équivalentes. C'est ton <=>.
    - un comparateur de propositions qui se note en effet $\equiv$
    - le symbole de congruence qui est une "relation d'équivalence".
    Je pense qu'il s'agit du dernier point si tu es en terminale...
    Le second point tu peux l'oublier il n'est pas vraiment utilisé en mathématiques à part de la logique.
    Une relation d'équivalence $\equiv$ veut dire que :
    $a \equiv a$ pour tout a
    si $a \equiv b$ alors $b \equiv a$
    si $a \equiv b$ et $b \equiv c$ alors $a \equiv c$.
    Ça n'a pas de lien avec "la double flèche".
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Zermel0
    Modifié (18 Mar)
    Comme j'ai un doute en relisant ton message je vais ajouter ces choses là.
    Si $A$ et $B$ sont deux propositions alors $A \iff B$ en est une autre.
    Et on a la "sémantique" suivante : $A \iff B$ est vraie si et seulement si ($A$ est vraie si et seulement $B$ est vraie).
    Alors que $A \equiv B$ n'est PAS une proposition !
    La nuance est difficile, c'est la même confusion que $A \Rightarrow B$ et $A \wedge (A \Rightarrow B ) $ dans les syllogismes.
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • $A \equiv B$ est une proposition.
  • zygomathique
    Modifié (18 Mar)
    Salut
    certes mais l'équivalence de/entre propositions est aussi une relation d'équivalence !!  :D 
    Puisque pour toutes propositions $A$, $B$ et $C$ alors : 
    $A \iff A$
    si $A \iff B$ alors $B \iff A$
    si $A \iff B$ et $ B \iff C$ alors $A \iff C$
    la relation de congruence est la relation d'égalité (qui est une relation d'équivalence dans $\R$ ou $ \C$ comme tu la connais classiquement) modulo quelque chose :
    elle dit simplement que quand tu travailles avec des angles orientéspar exemple alors dans toute expression mathématique que tu écrives $ \dfrac \pi 2$ ou $ \dfrac {5\pi} 2$ c'est du kif au même kif puisque dans $\R : \dfrac \pi 2 \equiv \dfrac {5\pi} 2 \mod [2\pi]$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • $A \Leftrightarrow B$ est une abréviation de $(A \Rightarrow B ) \wedge (B \Rightarrow A)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • tout à fait ... mais à la place de "abréviation" on peut aussi mettre "définition" ...

    tout comme $2^3$ est une abréviation de $ 2 \times 2 \times 2$

     ;) 

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Foys a dit :
    $A \Leftrightarrow B$ est une abréviation de $(A \Rightarrow B ) \wedge (B \Rightarrow A)$.
    Pas nécessairement, on peut très bien définir $A \Leftrightarrow B$ puis démontrer que c'est $(A \Rightarrow B ) \wedge (B \Rightarrow A)$.
  • Foys
    Modifié (19 Mar)
    @Héhéhé comment ? 
    NB: les connecteurs sont largement interdéfinissables, en tout cas en logique classique (pour le cas intuitionniste et au premier ordre, beaucoup moins mais on peut effectvement traiter $\Leftrightarrow$ et $A \wedge B$ en connecteur premier et dire que "$A \Rightarrow B$" est une abréviation de $A \Leftrightarrow (A \wedge B )$ ce qui fournit bien le comportement attendu même dans le cas intuitionniste).
    En maths "définir" veut dire introduire une abréviation. On ne définit pas les "espaces topologiques" ou autre, on introduit un mot qui remplacera une page ou plus de définition et de formules chaque fois que la notion devra être invoquée.
    En tout cas introduire des notions premières avec leur règles d'emploi ne définit rien.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Héhéhé
    Modifié (19 Mar)
    On peut très bien définir $P \Leftrightarrow Q$ par la table de vérité
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline P & Q & P \Leftrightarrow Q \\\hline
    V & V & V \\
    V & F & F \\
    F & V & F \\
    F & F & V \\\hline \end{array}$$
    puis calculer la table de vérité de $(P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P)$  (en ayant défini au préalable $\Rightarrow$ et $\wedge$) et constater que c'est la même chose.
  • Amadou
    Modifié (19 Mar)
    @Zermel0 en ce qui concerne la notion de congruence, je n'ai aucune ambiguïté car nous l'avons étudiée en terminale, et aussi la relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive).

    Cependant, je remarque souvent des propositions telles que $A\vee (B\wedge {C}) \Leftrightarrow (A\vee {B}) \wedge (A\vee {C})$, que je suis habitué à voir. D'un autre côté, je vois également la même proposition écrite de cette manière : $A\vee (B\wedge {C}) \equiv (A\vee {B}) \wedge (A\vee {C})$.
    Zermel0 a dit :
    Le second point tu peux l'oublier il n'est pas vraiment utilisé en mathématiques à part de la logique.
    D'accord !
    Zermel0 a dit :
    La nuance est difficile, c'est la même confusion que $A \Rightarrow B$ et $A \wedge (A \Rightarrow B ) $ dans les syllogismes.
    Je n'ai pas compris !

    @zygomathique merci pour les explications mais est-il possible de parler de relation d'équivalence dans $\C$ ? Pouvez-vous me donner quelques exemples pour que je puisse mieux comprendre ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Zermel0
    Modifié (19 Mar)
    𝐴∨(𝐵∧𝐶)≡(𝐴∨𝐵)∧(𝐴∨𝐶)
    Ce n'est pas une proposition.
    Dans mon exemple, "Si A alors B" ne veut pas dire qu'on a B, il faut avoir A.
    "Si on A et la règle "Si A alors B", on a B" (Syllogisme).
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • D'accord ! Je comprends. Merci pour l'aide apportée.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • gerard0
    Modifié (19 Mar)
    Bonjour Amadou.
    Une relation d'équivalence dans $\mathbb C$ : "avoir le même module". Je la note $\mathcal R$, donc $z \mathcal R z' \Leftrightarrow |z|=[z'|$.
    Quelles sont les classes d'équivalence ? (géométriquement).
    Cordialement.
  • @Héhéhé le problème avec les tables de vérité est que certains énoncés de maths n'en n'ont pas (dès qu'on quitte le monde de la logique propositionnelle et qu'on rentre dans la logique quantifiée mettons du premier ordre qui est indécidable).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Amadou
    Modifié (19 Mar)
    Bonjour @gerard0. Géométriquement je dirais que c'est un cercle de centre $0$ et de rayon $|z'|$

    On pose $z=a+ib$ avec $a, b$ tous des nombres complexes non nul. 
    On a :
    \begin{align*}
    |z|=|z'| & \Leftrightarrow |z|^2=|z'|^2 \\
    & \Leftrightarrow a^2+b^2=|z'|^2 \\
    & \Leftrightarrow (a-0)^2+(b-0)^2=|z'|^2
    \end{align*}
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Foys
    Modifié (19 Mar)
    @Amadou les maths sont une activité où on démontre des théorèmes. Il existe un ensemble $E$ dont les éléments sont appelés "énoncés formels" et une partie $T$ de $E$ dont les éléments sont appelés des théorèmes. Pour tous énoncés formels $x,y$ il existe (entre autres) d'autres énoncés formels $(x\Rightarrow y)$, $(x \wedge y)$ et $(x \Leftrightarrow y)$, le tout vérifiant (entre autres!!!) les propriétés suivantes:

    1°) pour tous énoncés formels $x$ et $y$, si $x\in T$ et si $(x \Rightarrow y) \in T$ alors $y \in T$
    2°) pour tous énoncés formels $x$ et $y$, $(x \Rightarrow (y \Rightarrow x)) \in T$
    3°) pour tous énoncés formels $x,y,z$, $((x \Rightarrow (y \Rightarrow z)) \Rightarrow ((x \Rightarrow y) \Rightarrow (x \Rightarrow z))) \in T$
    4°) pour tous énoncés formels $x,y$, $(x \Rightarrow (y \Rightarrow (x \wedge y)) \in T$, $((x \wedge y) \Rightarrow x)) \in T$ et $((x \wedge y) \Rightarrow y )\in T$
    5°) pour tous énoncés formels $x,y$, $(((x \Rightarrow y) \wedge (y \Rightarrow x)) \Rightarrow (x \Leftrightarrow y)) \in T$, et $((x \Leftrightarrow y) \Rightarrow ((x \Rightarrow y) \wedge (y \Rightarrow x))) \in T$

    Il ne faut pas confondre $x \Leftrightarrow y$ (qui est un énoncé formel) et "$(x \Leftrightarrow y) \in T$" qui est une affirmation portant sur l'énoncé formel $(x \Leftrightarrow y)$ sur le système qu'on vient de considérer.

    Commentaires annexes:
    (*) 4°) introduit les propriétés basiques de $\wedge$ et 5°) dit comment $\Leftrightarrow$ est "défini" à l'aide de $\wedge$ et $\Rightarrow$.
    (**) étant donné un énoncé formel $a$,"$a \in T$" ne signifie pas automatiquement que "$a$ est vrai" (la situation dégradée où $T$ est $E$ lui-même vérifie trivialement toutes les propriétés 1° à 6° évoquées ci-dessus).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Amadou
    Modifié (19 Mar)
    @Foys pour le moment, c'est assez difficile pour moi car il y a beaucoup d'implications. Mais je reviendrai de temps en temps pour lire et comprendre, et si jamais il y a des passages que je ne comprends pas, je vous le ferai savoir. Je vous remercie pour l'attention que vous avez porté à m'expliquer avec autant de détails.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (20 Mar)
    Bonjour
    Amadou, dans un autre de tes fils de discussion, je t'avais déjà indiqué comment transformer une implication en expression logique. Si les nombreuses implications sont un problème, transforme. (Rappel : "Avance pas, ou je tire" <=> "Si tu avances, je tire")
    "$P\Leftrightarrow Q$" est équivalent à "$(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)$"
    "$P\Leftrightarrow Q$" est équivalent à "$(\bar P \vee Q)\wedge(\bar Q\vee P)$" (en transformant)
    "$P\Leftrightarrow Q$" est équivalent à "$(\bar P \wedge \bar Q)\vee(Q\wedge P)$" (en distribuant)
    "$P\Leftrightarrow Q$" est équivalent à "$(P\oplus \bar Q)$" ou "$(Q\oplus \bar P)$" ou "$\overline{P\oplus Q}$" (en simplifiant de 3 façons) , "$\oplus$" étant le "ou exclusif".
    Et Hop ! Il n'y a plus d'implications.

    Tu noteras que le signe que tu pointes ($\equiv$) permet d'écrire des équivalences entre des phrases qui contiennent elles-mêmes des flèches doubles. Si tu n'avais pas ce signe, le texte deviendrait illisible. Ou demanderait du français (comme dans mon exemple :) ).
  • @Foys Dans ce cas, comment sont définis l'implication et la conjonction en logique du premier ordre si on ne peut utiliser des tables de vérité?
  • @Héhéhé ces connecteurs ne sont pas "définis", ce sont juste des symboles mais on les présente en général avec des règles de déduction d'où émerge leur sens intuitif. Par exemple les points 1°) et 4°) de mon message plus haut entraînent que pour tous énoncés $A$ et $B$, $A$ et $B$ sont tous deux des théorèmes si et seulement si $A \wedge B$ en est un ("être un théorème" voulant dire appartenir à $T$). C'est quelque chose qu'en général on attend du connecteur $\wedge$ ("et").
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Zermel0
    Modifié (20 Mar)
    @Foys
    Si tu parles de la déduction naturelle ou du calcul des séquents, traditionnellement en logique ce n'est pas considérée comme de la sémantique mais de la syntaxique (même si je n'ai jamais compris l'argument philosophique derrière).
    La sémantique de ces connecteurs provient (traditionnellement) de la théorie des modèles (Tarski).
    Une formule est une tautologie ssi elle est satisfaite par tous les modèles.
    C'est d'ailleurs la même définition qu'en logique propositionnelle, la table de vérité c'est l'ensemble des modèles de la proposition, si elle rend "vrai" à chaque modèle possible, c'est une tautologie.
    Personnellement j'aime beaucoup la sémantique dialogique mais on s'éloigne fortement de la question.
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.