Propriétés du processus de Lévy $L(t)$

APf

Bonjour, je suis bloqué sur l'exercice suivant.
Soit $(L(t))_{t\in \mathbb{R}^{+}}$ un processus de Lévy (cf. je considère cette définition : https://en.wikipedia.org/wiki/Lévy_process). Soit $T_1$ le premier instant de saut de $L(t)$. Dans un premier temps, il est en outre supposé que $(L(t))$ est un processus de comptage. On demande de montrer

a) La probabilité que la variable aléatoire continue $T_1$ prenne une valeur $t\in \mathbb{R}$, est nulle. 

b) $t\to \mathbb{P}(L(t)=0)$ est continue, strictement positive, est une fonction exponentielle strictement décroissante sur $\mathbb{R}_{+}$.

a) Ma première approche ici est de considérer le cas $t=0$ d'abord, où je sais que comme $T_1$ est le premier instant de saut, alors $T_1>0$ presque sûrement de sorte que la probabilité que l'événement $\{\omega: T_1(\omega)=0\}$ se produise est nulle. C'est-à-dire $\mathbb{P}(T_1=0)=0$. Pour le cas $t>0$ bien que cela soit intuitif, j'ai des difficultés à formaliser. Je raisonne ainsi : je prends un $t>0$, maintenant si $\omega\in \{\omega: T_1(\omega)=t\}$ alors $\omega \in \{\omega: L(t)(\omega)=1\}\cap_{0\leq s<t}\{\omega: L(s)(\omega)=0\}$, c'est-à-dire : si l'événement $T_1=t$ a lieu alors l'événement $L(t)=1$ doit se produire et l'événement $L(s)=0$ doit se produire pour tout $s<t$. Alors j'arrive au processus $L(t)$ et maintenant je cherche à appliquer la propriété de continuité en probabilité, en disant que si $\omega \in \{\omega: L(t)(\omega)=1\}\cap_{0\leq s<t}\{L(s)(\omega)=0\}$ alors $\omega\in \{\omega: L(t)(\omega)-L(s)(\omega)>\epsilon\}$ avec $\epsilon \in (0,1)$. Alors j'ai montré que $\{T_1=t\}\subset \{L(t)-L(s)>\epsilon\}$ et cet événement dernier a une probabilité plus petite que $\mathbb{P}(|L(t)-L(s)|>\epsilon)$ et par continuité de la probabilité cette dernière tend vers zéro. Par conséquent, j'ai montré que $0\leq \mathbb{P}(T_1=t)\leq 0$ ce qui est suffisant pour conclure que $\mathbb{P}(T_1=t)=0$.

Est-ce correct ? Merci d'avance
Cordialement.

APf

Bonjour, 
Un petit coup de pouce par ici ?
Merci