Un exercice de probabilité niveau lycée

biely

gebrane a dit :

- F : L'élève choisi au hasard est une fille.

P(F)=0? (le mot élève est épicène)
Ne devrait-on pas utiliser l’écriture inclusive ’’choisi.e’’ dans ce cas pour une fois? Je ne sais pas, je me pose la question. 

PetitLutinMalicieux

Bonjour

"Je souhaite avant tout, poursuivre cette conversation uniquement avec des personnes bien équilibrées qui choisissent soigneusement leurs mots."

Ah ? Parce que tu choisis bien tes mots peut-être ?

"La 1 signifie pour moi P(A|F)=0,15
La 2 signifie pour moi P(A|F)=0,15"

Ah non ! "Parmi toutes les filles, 15% mesurent plus de 1m80" signifie 15% de 60% du total, soit 9%." La proportion de filles mesurant plus de 1m80 est de 15%." signifie 15%. Comme 15% n'est pas égal à 9%, les 2 phrases ne sont pas égales.

"4. Parmi les élèves mesurant plus de 1,80 mètre, 15% sont des filles."

Rebelote. Tu confondais 9% et 15 % dans l'axe horizontal du tableau à doubles entrées, maintenant tu confonds dans l'axe vertical. (Si tu as fait un tableau dans l'autre sens, c'est le contraire). Dans l'énoncé initial faux, on savait qu'on ne pouvait pas conclure puisque l'autre axe ne disait rien sur la taille des garçons. La case restait désespérément vide.

lourrran

Les phrases 1,2 et 3 sont effectivement 3 formulations différentes pour une même information.
Exact aussi pour les 4 et 5.

La réponse de PLM est fausse, mais on ne peut pas le lui reprocher. Tu écris 5 phrases, les 3 premières veulent dire 3 fois la même chose, on s'imagine que la série continue.  
Farceur.

Je suis de très bonne volonté, mais aider un farceur, ce n'est pas simple du tout, et très énervant.

gerard0

OK pour tes interprétations, Gebrane.

Vassillia

Euh, je mettrais quand même un bémol
dans la phrase "la proportion de filles mesurant plus de 1m80 est de 15%, il y a quand même ambiguité, proportion dans quoi ?
En l'absence de précision, ce n'est pas si déconnant de traduire P(A et F), je peux vous montrer des exos de concours écrits ainsi car le prof a l'habitude d'écrire ainsi.
Astuce : regarder les questions et on en déduira ce que voulait dire l'énoncé. Je sais, ce n'est pas très fair play mais ça évite pas mal les problèmes.

gebrane

gai requin a dit :

$p_A$ est ... une probabilité sur l’univers contenant $A$.

Je ne saisis pas ta phrase  sur l’univers contenant $A$. ! Car P_A est une probabilité sur l'univers $\Omega$,

nicolas.patrois

On fait comme si l’univers était réduit à A, en fait.

PetitLutinMalicieux

Euh ... Lourran, tu peux faire des maths s'il te plaît ? Proférer une phrase sans justification n'est pas très mathématique. Moi, j'ai donné la justification. Toi, tu disqualifies mon message du haut de ta grandeur. Mais si tu n'es pas capable de comprendre que 15% du groupe n'est pas identique à 15% du sous-groupe, c'est toi qui a un problème.

nicolas.patrois

gebrane a dit :

1. Parmi toutes les filles, 15% mesurent plus de 1m80.

2. La proportion de filles mesurant plus de 1m80 est de 15%.

3. Si une fille est choisie au hasard, il y a 15% de chances qu'elle mesure plus de 1m80.

4. Parmi les élèves mesurant plus de 1,80 mètre, 15% sont des filles.

5. 15% des élèves sont des filles qui mesurent plus de 1,80 mètre.

Je note mes événements 

- A : L'élève choisi au hasard mesure plus de 1,80 mètre.

- F : L'élève choisi au hasard est une fille.

Pour moi :

1. $P_F(A)=0,15=P(A|F)$
2. $P(A∩F)=0,15$
3. $P_F(A)=0,15=P(A|F)$
4. $P_A(F)=0,15=P(F|A)$
5. $P(A∩F)=0,15$
   

Dom

La probabilité $p$ n’est pas la même probabilité que $p_A$. Ceux sont deux probabilités distinctes, deux fonctions distinctes, finalement. 

lourrran

@PLM,
Lis le message de Gebrane.

Il écrit 5 propositions, qui ne sont pas forcément identiques entre elles.
Puis, quelques lignes plus bas (pourquoi si loin, c'est la question), il retranscrit ces 5 propositions en formules mathématiques.

Tu commentes la phrase : "4. Parmi les élèves mesurant plus de 1,80 mètre, 15% sont des filles."
Là, tu commentes la 'question', lis plus loin, et regarde la réponse à cette question. Et tu verras que la réponse à cette question est correcte.

Et je ne t'accable pas du tout du haut de ma grandeur, je dis simplement : la question est mal rédigée, on lit le message de Gebrane, et on peut être tenté de réagir après cette succession de 5 propositions, pour dire ... non la 4ème n'est pas synonyme des 3 premières. C'est effectivement très tentant. 
Sauf que si on continue la lecture (faut être particulièrement de bonne volonté pour ça), on finit par comprendre la vraie question de gebrane. Je ne t'accusais pas d'avoir fait une erreur, j'accusais le farceur gebrane d'avoir tendu un piège.

PetitLutinMalicieux

Argh. nicolas.patrois en remet une couche. Mais c'est faux !

1. La partie : les filles de plus d'1,80 m
Le tout : Les filles.

2. La partie : les filles de plus d'1,80 m
Le tout : Tout le monde.

3. La partie : les filles de plus d'1,80 m
Le tout : Les filles.

4. La partie : les filles de plus d'1,80 m
Le tout : Les personnes de plus d'1,80 m.

5. La partie : les filles de plus d'1,80 m
Le tout : Tout le monde.

Structurellement, les propositions 1 et 4 sont identiques, et différentes de la 2. Car dans 1 et 4, on parle d'un sous-groupe. Et pas du groupe entier.

C'est bien toi, Lourran qui proposait de compter des gens. Et bien s'il y a 60 filles, et si 15 filles font plus de 1,80 m, alors $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}=25\%$. À l'inverse, pour qu'il y ait 15% de filles qui fassent plus d'1,80 m alors il faut 9 filles de plus d'1,80 m.
Parle-moi de 9%, parle-moi de 25%, mais ne me parle pas de 15% à toutes les lignes. C'est faux.

nicolas.patrois

Exact, la 2 est chiante à décortiquer.
Je corrige.

lourrran

Attention, le farceur a envoyé un certain message à 9h30, et l'a modifié à 16h03. Les réponses à la question de 9h30 ne sont donc plus d'actualité, puisque la question de 9h30 a disparu.

Dom

Ça devient encore plus insupportable qu’insupportable. 

Quand on change un propos plusieurs minutes, voire plusieurs heures après, on peut aussi le mentionner dans ledit message (rayer l’ancien, écrire le nouveau en gras ou en couleur, etc.). 

Barjovrille

gebrane a dit :

gai requin a dit :

$p_A$ est ... une probabilité sur l’univers contenant $A$.

Je ne saisis pas ta phrase  sur l’univers contenant $A$. ! Car P_A est une probabilité sur l'univers $\Omega$,

Bonjour, une des interprétation possible de $p_A$. On part de l'espace probabilisé $(\Omega,T,p)$, on suppose $p(A) \neq 0$. On peut construire un nouvel espace probabilisé sur $A$ à partir de cet espace. $(A, T_A, p_A)$ où $T_A=\{ F \cap A |  F \in T\}$, la tribu trace. Et $p_A$  est la mesure définie de cette façon $p_A(.)=\frac{p(.)}{p(A)}$. Alors $p_A$ est une mesure sur $(\Omega, T)$, si on restreint cette mesure à la tribu trace c'est une probabilité sur l'univers $A$.

 Si on interprète les mesures de probabilité comme un outil pour mesurer la taille des ensembles alors le $p(F|A)$ est égal à $p_A(A\cap F)$ (selon la définition que je viens de donner de $p_A$). Et donc on peut dire que quand on calcule $p(F|A)$ on mesure la taille de $A\cap F$ mais on a changé d'outil (ou d'unité?) pour la mesure de cette taille.

(On peut aussi définir $p_A$ avec la formule $p_A(.)=\frac{p( . \cap A)}{p(A)}$ et dans ce cas c'est bien une proba sur $\Omega$ et ça change au niveau interprétation).

edit : j'ai remplacé $p(A|F)$ par $ p(F|A)$ suite à la remarque ci-dessous.

nicolas.patrois

C’est dans l’autre sens, Barjovrille !

Barjovrille

  Merci @nicolas.patrois je corrige.
 

gebrane

Encore une fois, je ne plaisante pas dans ce fil. Pour ce message  , il est indiqué "edit", je suis revenu seulement pour dire que je n'avais pas vu le message de Soc et s'il y a une autre modification, peut-être que @AD est passé pour corriger le LaTeX. Si j'avais  fait une modification pour faire le  malin, un admin peut le vérifier et si c'est le cas, je demande un bannissement d'un an. Donc, arrêtez lourrran et Dom de perturber la lecture du fil par ce genre de messages inutiles.

Les propositions de phrases que j'ai données ne sont pas de mon invention, on les retrouve dans de nombreux exercices. Pour la 2), je constate qu'il n'y a pas d'unanimité, certains acceptent ma réponse \( P(A|F) \) et d'autres pensent que c'est \( P(A \text{ et } F) \).

En travaillant avec mon neveu, j'ai rencontré des formulations plus ambiguës. @Vassillia peut nous donner d'autres formulations plus extrêmes et posées dans des concours.
@Titi le curieux Je choisis mes mots avec ceux qui me respectent, mais ceux qui osent me traiter avec des mots horribles perdent mon respect. Je rends la pareille.

gerard0

Bonsoir.

Pour le 2, on peut dire que c'est mal écrit, on aurait dû écrire "La proportion des filles ..."; mais sans autre référence, la seule population en cause est bien celle des filles. Si on veut parler d'autre chose, on dira "La proportion de filles parmi ...". Les proportions sont toujours en référence à un tout.

En pratique, on voit vite qu'un bon nombre d'énoncés "concrets" des exercices de probas sont mal écrits, voire (*) ont plusieurs interprétations. Car les formulations très précises d'une situation concrète nécessitent une connaissance sérieuse du français, qui n'est plus systématique chez les matheux aujourd'hui (par comparaison lire Borel, ou plus tard Deledicq). Sans parler des contresens liés à des situations présentées comme probabilistes alors qu'elles ne relèvent pas de l'aléatoire, ou bien modélisées à tort.

Quand j'enseignais, j'ai toujours rejeté les énoncés imprécis, voire incorrects. On le fait bien pour le reste des maths.

Cordialement.

(*) c'est arrivé dans un bac C des années 80.

Dom

Écoute, tu ne vas pas me donner de leçon. Tu as bousillé le fil que tu as créé avant même que ça ne commence. Des intervenants, moi y compris, sommes venus pour apporter quelque chose. Et c’était (encore ?) un message mal ficelé. 

J’ai trouvé zeitnot sévère et plus qu’agacé mais si on peut lui reprocher la forme de son message, le fond me semble pertinent. Je t’avais déjà demandé jadis si tu voulais tester les gens sans leur dire ou bien si tu posais des questions sincèrement. Parfois je doute (et on s’en fiche d’ailleurs, chacun fait ce qu’il veut). 

Là j’ai compris que c’était par l’intermédiaire d’une tierce personne donc je ne vais pas en rajouter. C’est comme ça, tu n’es pas totalement responsable du fouillis. Mais tu ne vas pas me faire le coup de l’arbitre des politesses et des messages utiles ou inutiles. Amusant, en ce moment, c’est l’habitude de certains membres : ils décident qui pourrit les fils ou pas et sans intervenir sur ledit fil. Ils y viennent juste pour dire ça… et certainement pas pour participer… allez comprendre pourquoi… 

Bref. Ce fil a un intérêt de mon point de vue, notamment celui de traduire du français « courant » en un objet mathématique, qui plus est dans le cadre des probabilités où justement l’intuition fait parfois défaut ou est mauvaise conseillère car contient des implicites parfois indécelables du lecteur qui se lance dans la correction. 

Tu as raison de demander à tout le monde de rester courtois. 

Bien cordialement 

gebrane

Dom Restons courtois.

biely

Pour la 2) je pense comme gerard0: c’est mal écrit. Puisqu’on parle de formulation, est-ce que l’expression ’’choisir au hasard’’ a un sens? 
https://www.academie-francaise.fr/choisir-au-hasard

gerard0

En général, on dit "pris au hasard", bien qu'il soit difficile de le faire dans de nombreux cas (comment "prendre un français au hasard" ?).

gebrane

Merci à tous les intervenants qui ont apporté leur éclairage à la question ; l'essentiel a été dit.
Passez une bonne fin de soirée
Cordialement

gebrane

Reonjour
Je reviens avec un petit exercice sur lequel je bloque lamentablement. Pour les habitués  des exercices avant le Bac, je suis sûr que je passe à côté d'une raison simple. Voici l'énoncé : j'ai une boîte qui contient \( N \) pièces, dont \( d \) sont défectueuses. Je tire au hasard simultanément deux pièces.
Sachant que la probabilité que les deux pièces soient défectueuses est \( p=\frac{1}{100} \), je dois trouver la composition \( (N,d) \) de la boîte.

Normalement, on a \[ \frac{d(d-1)}{N(N-1)} = \frac{1}{100} \]
Mais je ne parviens pas à progresser après cela. 

Pour tester si le problème a bien une solution, et puisque d'après l'énoncé \( d \geq 3 \), j'ai fixé \( d = 3 \). J'ai trouvé la composition \( (25,3) \), mais je ne vois pas comment justifier que c'est la seule composition possible de la boîte.
Aussi même question pour p=1/1000 mais dans ce cas, je ne trouve rien comme disposition.

zeitnot

@gebrane, je suis d'accord avec la probabilité que tu as trouvée. Après je suis aussi lamentablement bloqué que toi et je n'ai pas l'impression que ça soit un simple exercice "d'avant le bac". 

gerard0

Bonjour Gebrane.

Si N et $d\ge 3$ ne sont pas connus, on tombe sur l'équation diophantienne $100 d(d-1) = N(N-1)$, qui peut se résoudre avec les moyens du lycée. C'est l'équation du second degré

$100 d^2-100 d-N(N-1)=0$

qui a (d'après l'énoncé) une solution entière positive (et une de signe opposé). Le discriminant est

$\Delta = 10000+400N(N-1)=400(25+N^2-N) \ge 0$

Comme 400 est un carré d'entier, il faut que $N^2-N+25$ soit un carré d'entier. Résolvons $N^2-N+25=m^2$ où m est entier. Le discriminant est $1-4(25-m^2)=4m^2-99$. Qui doit  être un carré $p^2 = 4m^2-99$ d'où $4m^2-p^2=99$.

$(2m-p)(2m+p) = 99 = 3^2\times 11$

On n'a plus trop le choix des valeurs pour $(2m-p,2m+p) : \ (1,99),(3,33),(9,11)$ (j'ai supposé m et p positifs, évidemment). Je te laisse finir.

Cordialement.

NB : Sauf erreur ou oubli.

Dom

Pareil. J’ai tenté des considérations arithmétiques élémentaires mais plus j’avance plus je m’empêtre.

gebrane

Ton verdict me rassure @Zeitnot , mais on ne sait jamais !

gebrane

Bon, je viens de voir le message de @Gerard, que je remercie. À étudier.

Soc

Sans avoir lu encore la réponse de gerard0, à $d$ fixé, ta probabilité va être une fonction strictement décroissante de $N$, donc si tu as une solution, elle est unique.

gebrane

Merci, Soc, pour l'astuce de l'injection de l'application \(N \to \frac{d(d-1)}{N(N-1)}\) pour \(d\) fixé. Je crois que c'est la solution attendue par le professeur de mon neveu. Pour \(p = \frac{1}{1000}\), je vais appliquer l'idée de Gérard pour trouver une solution.

EXTRA:  Mais démontrer que ce problème admet une solution pour tout \(p\) est vraiment hors de portée pour un lycéen.

Soc

Il y a peu de chance qu'il ait une solution pour tout p car tu traites avec des entiers. Pour se convaincre il suffit de considérer 1/pi !

Dom

Pour toute puissance (paire ?) décimale, peut-être.

gebrane

@Soc
Après une réflexion approfondie, ton idée de fixer \(d\) fausse le problème d'unicité, car pour \(p = \frac{1}{10}\), je trouve au moins ces deux couples de solutions : \( (5;2) \) et \( (21,7) \). Il faut laisser libre le $d$ et le $N$.

Fin de partie

@Gebrane:  La traduction en langage courant de probabilité conditionnelle est une escroquerie intellectuelle en quelque sorte. Il faut seulement que les élèves repèrent les tournures de phrase qui indiquent qu'on parle de probabilité conditionnelle par exemple: la probabilité de... sachant que... Ce qui se fait en enfilant les exercices de ce type qui sont rarement difficiles.

Dans les copies d'élèves on voit souvent ces méprises; des élèves n'ont pas décrypté l'énoncé tel qu'on voulait qu'ils le décryptent, ils n'ont pas repéré à travers les tournures de phrase qu'il était question de probabilité conditionnelle.

Soc

C'était en réponse à "j'ai fixé d=3. J'ai trouvé la composition (25,3), mais je ne vois pas comment justifier que c'est la seule composition possible de la boîte.". Il y a unicité de la réponse à $d$ fixé, mais cela ne garantit effectivement pas qu'il ne puisse y avoir d'autres solutions pour d'autres $d$.

gebrane

J'ai bien dit  Soc  comment justifier que c'est la seule composition possible de la boîte
Je crois que c'est hard comme question

biely

Pour quelle raison la solution de gerard0 ne vous convient pas?

gebrane

FDP tu as raison sur le fait que ((La traduction en langage courant de probabilité conditionnelle est une escroquerie intellectuelle en quelque sorte.)) et je me suis fait insulté dans ce fil ...en prétendant que la question est idiote

Dom

biely, je pense qu’ils discutent un argument d’ordre général pour travailler sur un cas plus général. 

Ils sont évidemment conquis par la preuve de Gérard. 

gebrane

Oui Dom, les attentes évoluent avec l'afflux des contributions.

gebrane

Avec ce petit programme

def trouver_nombre_boules():
    solutions = []
    for N in range(2, 10000):
        for d in range(1, N):
            if 1000*d * (d - 1) == N * (N - 1)  :
                solutions.append((N, d))
    return solutions

solutions = trouver_nombre_boules()
print("Solutions possibles :")
for solution in solutions:
    print("Nombre total de boules dans l'urne :", solution[0], "- Nombre de boules blanches dans l'urne :", solution[1])

J'ai trouvé une solution pour \( p = \frac{1}{1000} \), à savoir \( (N=1376, d=44) \). En testant davantage, je crois, comme Dom, que l'existence d'un couple de solutions est plausible pour les valeurs de \( p \) décimales, voire pour \( p \) un rationnel. Pour le démontrer, c'est une autre histoire.

pldx1

Bonjour,

Que reste-t-il de cet enfumage ?

L'énoncé d'un problème de mathématiques est supposé être ferme et définitif. Lorsque l'énonceur est le farceur @gebrane, il est plus que prudent d'en faire une citation dans sa réponse. Et il vaut mieux  en fournir une copie graphique pour se protéger des merdifications ultérieures entreprises sous les prétextes les plus variés. 


Le poseur de sujet semble supposer que les élèves de l'IUT de Digne ne sont pas des navets magiques, et donc que leur nombre est précisément déterminé (pour la durée de l'exercice). On suppose aussi que ce nombre est d'une multiplicité suffisante pour éviter les conneries usuelles concernant les filles fractionnaires. Comment avoir $60\%$ de filles avec un effectif de 71 étudiants ? Est-il question de 42 filles, 28 gars, et un couci-couça se sentant fille 3 jours sur 5 ? Ou de 41 filles, 28 gars, et deux couci-couça se sentant fille 4 jour sur 5 ?  

Supposons donc qu'il y ait eu  $N=180$  étudiants.  Parmi eux il y a $180\times0.6 = 108$ filles... et $72$ garçons (en supposant qu'ils soient tous revenus du resto U).  Ensuite de quoi, il y aurait $72*40/100=28.8$ étudiants mâles mesurant plus de $1,80m$. Si l'on coupe à la tronçonneuse le 29ème étudiant pour en refiler $20\%$ au groupe des petites tailles, le résidu fera moins que la taille réglementaire (sauf à avoir mesuré plus de $2.25m$ avant l'opération, ce qui est peu probable). On en déduit que $N=180$ n'était pas possible. 

Supposons désormais que l'IUT se soit fait prêter $20$ étudiants, de façon à porter son effectif à $N=200$. Il y a désormais $200*0.6=120$ filles  et $80$ garçons.  Et parmi les $80$ garçons, il y a $80*0.4=32$ étudiants mâles mesurant plus de $1.80m$. Côté filles, il y $120*0.15=18$ étudiantes mesurant plus de $1.80m$. Au total, il y a $32+18=50$ girafidés parmi les $200$ étudiants. Quelle est alors la probabilité pour qu'un girafidé pris au hasard soit une fille ?  C'est le moment d'en flanquer une tartine sur les $\Omega$ et les mesures mesurantes sur les ensembles compacts de cardinalité finie.

Ensuite de quoi on sort sa calculette pour poser l'opération $18/(18+32)$.   Ah, qu'elles sont dures ces maths là .

Cordialement, Pierre.

Sato

Peut-être aurait-il fallu poser la question dans le forum adapté ? https://les-mathematiques.net/vanilla/categories/coll%C3%A8ge-lyc%C3%A9e

  

raoul.S

pldx1 a dit : 
Supposons désormais que l'IUT se soit fait prêter 20 étudiants, de façon à porter son effectif à $N=200$

Je ne sais pas pourquoi ce besoin de vérifier que l'on puisse prendre un $N$ entier. Dans ce cas autant prendre $N=100$ directement... 

Soc

Par insécurité!

gebrane

Avec l'âge, @pldx1 sombre de plus en plus dans la folie. Un jour jelobreuil avait dit "Ne te crois pas spécialement la cible des sarcasmes de Pierre : c'est le ton qu'il adopte généralement, du haut de son Everest, et dès qu'il intervient dans une discussion : il n'a vraiment de considération que pour les gens de son niveau, le reste des intervenants étant à ses yeux quantité négligeable"
@Sato, j'aime bien ta farce  "aurait-il fallu poser la question dans le forum adapté ? " 

lourrran

Je fais un petit 'up' sur cette question, et en particulier sur la 2ème question ici.
De fil en aiguille, cette question est devenue : 
Tout nombre rationnel positif peut-il s'exprimer comme fraction de 2 nombres triangulaires ?
J'ai vaguement cherché avec mes petits moyens, (j'ai surtout cherché au sens googlisé), et je n'ai rien trouvé. Par curiosité, exceptionnellement, j'ai consulté l'oracle ChatGPT qui m'a raconté tout et son contraire.
Si quelqu'un sait répondre à cette question, ou apporter des éléments de réponse, bienvenue.