La possibilité d'une île

pldx1

Bonjour, 

D'après Google, "un porisme est une question dont la solution consiste à tirer une vérité géométrique de conditions assignées par l'énoncé (Littré). Les porismes d'Euclide (Ac. 1878)". Je ne pige pas ce que cela pourrait vouloir dire, mais tant pis pour moi. Ma propre compréhension est "Quasiment jamais. Mais s'il y en a un, il y en a une infinité formant une famille paramétrée.  Exemple: le porisme de Poncelet". 


Cordialement, Pierre.

Vassillia

Ah, merci, c'est ce qui donne la condition de fermeture ou de bouclage. J'avais trouvé la définition dont tu parles et même celle de wikipedia

(Mathématiques) (Désuet) Corollaire, énoncé de type intermédiaire entre les théorèmes et les problèmes.
Les Porismes d'Euclide, ouvrage que ce géomètre avait écrit, et qui était célèbre dans l'antiquité.

Mais sans y mettre de la mauvaise volonté, c'était un peu trop elliptique pour moi ce qui est ironique vu le porisme de Poncelet.

plsryef

Une autre image avec des angles de 60° pour les arcs rouges. Dans ce cas c'est l'intersection des arcs rouges qui conditionne tout pour faire tourner les petits cercles noirs, je crois.

Ludwig

Bonsoir,

Retour au problème avec 4 cercles. Le quadrangle harmonique des $T_i$ est donné sur le cercle trigonométrique. Il y a une infinité de quadruplets de cercles solutions.

1°) Démontrer que la configuration ci-dessous correspond au rayon minimal du cercle des $U_i$.

2°) Construire cette figure à la règle et au compas.

3°) Exprimer ce rayon minimal en fonction des angles polaires $t_i$ des $T_i$.

jelobreuil

Bonne nuit à tous,

@Ludwig, est-ce que je me trompe ? J'ai l'impression que sur ta figure, les points T1 et T3, respectivement T2 et T4, sont les extrémités de deux arcs de cercle qui passent par deux des sommets du quadrilatère et qui se coupent orthogonalement au centre du cercle ... 

Bien cordialement, JLB

Ludwig

C'est vrai @jelobreuil que ce que tu dis n'est pas loin d'être vrai. Mais c'est faux.

jelobreuil

Bon, alors, si ce ne sont pas des arcs de cercle, au moins ce sont des arcs de conique !

Ludwig

Oui , mais que faire de ces coniques ? Des trois questions que j'ai posées je n'ai la réponse qu'à la deuxième. As-tu trouvé une construction de la figure @jelobreuil ? Ce n'est pas que la mienne soit compliquée, mais je sens que les calculs le sont un peu trop... J'ai déjà essayé de calculer ce rayon minimal sans avoir cette construction géométrique, et c'était juste atroce.

Cela dit, pour ma première question, il y a je pense une réponse assez simple. Pour ma troisième aussi : quelques études de cas particuliers me font dire que l'inverse de ce rayon minimal s'écrit comme une somme de quatre termes pas bien compliqués. Les calculs pour les trouver le sont peut-être, mais en rusant géométriquement ils doivent se simplifier.

jelobreuil

Bonsoir @Ludwig, 

Non, je t'avoue, je n'ai rien cherché sur ce fil ...

Ceci dit, pour ta première question, qu'est-ce qu'elle a de particulier, cette configuration ? Je ne vois pas ... Quel est le point de départ qui t'a permis de démontrer ta proposition ?

Bien amicalement, JLB

 

Ludwig

J'ai constaté qu'en général le centre du cercle des $U_i$ est équidistant des côtés du quadrilatère formé par les centres des quatre cercles oranges. Ma figure a ceci de particulier : la projection du centre de ce cercle sur un côté de ce quadrilatère coïncide avec un point de tangence de deux cercles oranges. Et je dis que c'est dans ce cas que le rayon est minimal. 

Bonne soirée, Ludwig

Ben314159

Concernant la minimalité, vu que chaque $U_i$ est sur le cercle orthogonal à celui de départ passant par $T_i$ et $T_{i+1}$ et que ton fameux cercle est tangent aux 4 cercles en question, il me semble que ça prouve  la minimalité, non ?

pldx1

Bonjour.

Chaque $U_{ij}$ est sur l'arche $T_iT_j$ correspondante. Oui. Donc le cercle des $U_{ij}$ ne peut pas rétrécir au delà de devenir l'un des cercles tangents aux arches $T_iT_j$. OK pour cela. Et donc il reste à montrer qu'il existe un cercle tangent aux quatre arches.

Pappus a déjà indiqué qu'il est intéressant d'adopter la terminologie du plan de Poincaré. Appelons donc $\Delta_{MN}$ le cercle passant par les points $M,N,iM,iN$ où $iM$ désigne l'inverse du point $M$ dans le cercle horizon. Le cercle $\Delta_{MN}$ est orthogonal au cercle horizon, c'est ce qui fait marcher la machine. 

Une inversion par rapport au cercle $\Delta_{\beta\delta}$ laisse invariant les cercles $C_\beta, C_\delta$ et échange les cercles  $C_\alpha, C_\gamma$. Donc le cercle des $U$ est orthogonal au cercle d'inversion. On coupe par le cercle $\Delta_{\alpha\gamma}$. On trouve un point $p\Omega$ qui est le $P$-centre du cercle des $U_j$ et c'est fini.

Cordialement, Pierre.

Ludwig

Bonjour,

Je note respectivement $0$, $U$, $V$ et $W$ les angles polaires des points $T_1$, $T_2$, $T_3$ et $T_4$. Alors le carré du rayon minimal $r$ est donné par les formules (vérifiées) suivantes : $$r^2=\left(-X \; k + Y \right)^{2} \cdot \frac{-2 \; Y \; \operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; W \right) + X^{2} + Y^{2} + \operatorname{tan} ^{2}\left( \frac{1}{2} \; W \right) - 2 \; X + 1}{\left(\operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; W \right) + k \; \left(X - 1 \right) - Y \right)^{2}},$$ $$X=\frac{\operatorname{cos} \left( U \right) - 2 \; \operatorname{cos} \left( V \right) + 5 \; \operatorname{cos} \left( U \right) \; \operatorname{cos} \left( V \right) + 4 \; \operatorname{sin} \left( U \right) \; \operatorname{sin} \left( V \right) - 4}{2 \; \operatorname{cos} \left( U \right) - \operatorname{cos} \left( V \right) + 4 \; \operatorname{cos} \left( U - V \right) - \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( U \right) + \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( V \right) + \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( U - V \right) - 5},$$ $$Y=\frac{\operatorname{sin} \left( U \right) - 2 \; \operatorname{sin} \left( V \right) + 2 \; \operatorname{cos} \left( U \right) \; \operatorname{sin} \left( V \right) - \operatorname{cos} \left( V \right) \; \operatorname{sin} \left( U \right)}{2 \; \operatorname{cos} \left( U \right) - \operatorname{cos} \left( V \right) + 4 \; \operatorname{cos} \left( U - V \right) - \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( U \right) + \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( V \right) + \sqrt{2} \; \operatorname{sin} \left( U - V \right) - 5},$$ $$k=2 \; \operatorname{sin} \left( V \right) \; \operatorname{sin} \left( \frac{1}{2} \; W \right) \; \frac{\operatorname{cos} \left( U - \frac{1}{2} \; W \right) - \operatorname{cos} \left( \frac{1}{2} \; W \right)}{\operatorname{sin} \left( V \right) \; \left(\operatorname{cos} \left( U \right) - \operatorname{cos} \left( W \right) \right) - \operatorname{sin} \left( U - W \right) \; \left(\operatorname{cos} \left( V \right) - 1 \right)}.$$

Avec la condition angulaire d'harmonie du quadrangle qui peut s'écrire : $$\operatorname{cos} \left( \frac{1}{2} \; \left(U + V - W \right) \right) + \operatorname{cos} \left( \frac{1}{2} \; \left(U - V - W \right) \right) = 2 \; \operatorname{cos} \left( \frac{1}{2} \; \left(U - V + W \right) \right).$$ Saloperies de formules ! GeoGebra plante et Wolfram n'en veut pas car trop longues.

Ludwig

Finalement on peut s'en tirer en préparant les calculs pour qu'ils ne soient pas trop gros et en utilisant des formules de trigo. On a : $\frac{1}{r}=\frac{\left(-2\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}U\right)+\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}V\right)\right)^{2}\left(\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}U\right)\left(-2\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}V\right)+2\sqrt{2}\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}V\right)\right)+\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}U\right)\left(-2\sqrt{2}\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}V\right)+\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}V\right)+2\right)+\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}V\right)\right)}{\left(\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}U\right)-\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}V\right)\right)\left(2\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}U\right)-\operatorname{tan}\left(\frac{1}{2}V\right)\right)\left(\operatorname{sin}\left(U\right)\operatorname{sin}^{2}\left(\frac{1}{2}V\right)+\operatorname{sin}\left(V\right)\left(\operatorname{cos}\left(U\right)-1\right)\right)\left(\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}U\right)+1\right)\left(\operatorname{tan}^{2}\left(\frac{1}{2}V\right)+1\right)}.$

Ludwig

Une formule exploitable pour ce rayon minimal, à partir des angles polaires $U$ et $V$ des points $T_2$ et $T_3$ pris sur le cercle trigonométrique (l'angle de $T_1$ est pris égal à $0$ et celui de $T_4$ est alors parfaitement, harmonieusement, déterminé) :

$$\frac{1}{r}=\sqrt{2} +\frac{\cos(U-V)+\cos(U)-2}{\sin(U-V)+\sin(V)-\sin(U)}.$$ Comment expliquer la présence de $\sqrt{2}$ ? Bon dimanche.

Ludwig

Une autre formule. Je fixe $T_1=(1,0)$. Pour que le cercle des $U_i$ ait $r$ pour rayon minimal il faut et il suffit que le centre de ce cercle soit sur le cercle de centre $O$ et de rayon $R=\sqrt{1-2r\sqrt{2}+r^2}$, ce qui s'écrit aussi $r=\sqrt{2}-\sqrt{1+R^2}$. Une petite animation :

Ludwig

Une autre animation : $U_1$ tourne sur un cercle minimal fixé, entraînant tout le reste.

Ludwig

Une autre animation : un poisson rouge se faufile à travers les cercles de la figure.

[Tu as deux jours de retard AD]