Mesurabilité en cas de modification sur un ensemble négligeable

posix968

J'ai une question qui trotte dans ma tête depuis ce matin et qui m'est venu en relisant mon cours. Est-ce que toute fonction résultant de la modification sur un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle d'une fonction mesurable reste mesurable ? Parce que la mesurabilité d'une fonction ne dépend pas des mesures mis sur les ensembles de départ ou d'arrivée donc il n'y aurait pas de raison que ce soit vrai. 

Par exemple, si on prend une fonction mesurable et qu'on la modifie sur un ensemble non-borélien inclus dans un ensemble de mesure nulle (je suppose que ça existe je ne sais pas en réalité) en lui donnant une valeur qu'elle ne prenait pas ailleurs, elle n'est pas mesurable. 

Ducoup ma question se ramènerait peut-être à l'existence d'un ensemble non borélien inclus dans un borélien de mesure nulle ?

Math Coss

Cela existe. En effet :

• il existe des boréliens de mesure nulle qui ont le cardinal du continu (de $[0,1]$ ou de $\R$), tel l'ensemble de Cantor $K$ (l'ensemble des réels de $[0,1]$ qui n'ont pas de $1$ dans leur développement triadique propre ; il est en bijection avec $[0,1]$ en envoyant $\sum_{k\ge1}a_k2\frac1{3^k}$ (où $a_k\in\{0,2\}$) sur $\sum_{k\ge1}\frac{a_k}{2}\frac{1}{2^k}$) ; sa mesure est $0$ car la mesure de son complémentaire dans $[0,1]$ est $\sum_{k\ge1}\frac{2^k}{3^{k+1}}$) ;
  
• le cardinal de la tribu borélienne est le cardinal du continu $\aleph_1$ (ce fait est difficile) alors que le cardinal de l'ensemble des partie de $K$ est $2^{\aleph_1}>\aleph_1$ ;
  
• et donc il existe des parties de $K$ qui ne sont pas boréliennes.

PS : ajout de liens.

posix968

Merci pour ta réponse ! Ca a l'air compliqué effectivement, je m'y intéresserais plus en profondeur quand j'aurais le temps mais tu as levé mon incertitude.

Renart

Juste une remarque : Si par "mesurable" tu veux dire "borélienne" alors ton raisonnement est le bon et Math Coss à complété ce qu'il manquait pour conclure. Cependant il est fréquent, lorsque l'on parle de fonction réelles et qu'on ne précise pas les tribus sur l'espace de départ et d'arrivé, que les fonctions "mesurables" soient celles qui vérifient \[ \forall A \in \mathscr B(\R), \qquad f^{-1}(A) \in \mathscr L(\R),\] où $\mathscr B(\R)$ et $\mathscr L (\R)$ désignent les tribus de Borel et de Lebesgue respectivement. Et dans ce cas là modifier $f$ sur un négligeable ne change pas son caractère mesurable puisque tout ensemble négligeable est dans la tribu de Lebesgue.