Tribu de Borel engendrée par les intervalles $]a,\,b]$

Abdoumahmoudy

Bonjour, bon matin 🌞
Il s'agit de montrer que la tribu de borel sur R est engendrée par les intervalles de type ]a,b] .
Dans le corrigé,j'ai : 

Mais cela nous donne juste que la tribu de Borel est incluse dans la tribu engendrée par les intervalles ]a,b], donc comment faire pour montrer l'autre inclusion "la tribu engendrée par ]a,b] est incluse dans la tribu de Borel " ??
Pourquoi la première inclusion est suffisante ??

Merci.

[Émile Borel (1871-1956) prend toujours une majuscule. AD]

Math Coss

Il faut en effet vérifier que les $\left]a,b\right]$ sont dans la tribu de Borel. Ce n'est pas si difficile. 

gerard0

Bonjour. 
La tribu de Borel est engendrée par les intervalles. Une tribu engendrée par une partie des intervalles est donc contenue dans la tribu de Borel. 
Cordialement. 

Math Coss

A priori la tribu de Borel serait plutôt définie comme engendrée par les ouverts (pour que ça ait un sens sur $\R^n$ au moins), auquel cas il faut vérifier que les intervalles semi-ouverts sont dedans. 

gerard0

N'est-ce pas du cours ?

Math Coss

Je suppose que ça dépend du cours. Dans le dernier cours qui m'est passé sous les yeux figurait le fait que la tribu de Borel est engendrée par n'importe laquelle des huit classes d'intervalles (les $\left[a,+\infty\right[$, les $\left]a,+\infty\right[$, les $\left]-\infty,a\right[$, les $\left]-\infty,a\right]$, les $\left[a,b\right[$, les $\left]a,b\right]$, les $\left]a,b\right[$, les $\left[a,b\right]$). Si on admet ça il n'y a plus d'exercice. En l'espèce, difficile de dire ce qui figure dans le cours d'@Abdoumahmoudy, c'est pour ça que j'ai écrit « a priori » plutôt que « tu dis n'importe quoi », ce qui n'est pas le cas (que tu dises n'importe quoi). D'après le corrigé il semble que la tribu de Borel soit définie comme celle qui est engendré par les intervalles ouverts (qui forment une classe plus petite que les ouverts), ou alors c'est une caractérisation, va savoir. (Procès d'intention : je parierais qu'est passé sous silence le fait que $\sigma(\sigma(\mathcal A))=\sigma(\mathcal A)$ pour toute classe $\mathcal A$.)

Quoi qu'il en soit, si on n'admet pas le fait ci-dessus, me suis-je dit, peut-être que le mieux est de démontrer que $\left]a,b\right]$ est dans la tribu borélienne, ce qui est une manipulation utile (voir que $\left]a,b\right]=\left]a,b+1\right[\setminus\left]b,b+1\right[$ ou que $\left]a,b\right[=\bigcap_{n\ge1}\left]a,b+1/n\right[$, ça sert ailleurs).

Abdoumahmoudy

gerard0 a dit :

Bonjour. 
La tribu de Borel est engendrée par les intervalles. Une tribu engendrée par une partie des intervalles est donc contenue dans la tribu de Borel. 
Cordialement. 

Bonjour Gérard, vous avez dit la tribu de Borel est engendrée par les intervalles, quels intervalles ???

D'autres part, est-ce qu'il ne faut pas  vérifier que les ]a,b] sont dans la tribu de Borel ??

[Émile Borel (1871-1956) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme ! AD]

Math Coss

Reprenons : quelle est ta définition de la tribu de Borel ? Que sais-tu sur elle ?

Abdoumahmoudy

Math Coss a dit :

Reprenons : quelle est ta définition de la tribu de Borel ? Que sais-tu sur elle ?

La tribu de Borel est la plus petite tribu qui contient les ouverts de R.

[Émile Borel (1871-1956) mérite sa majuscule ! AD]

Math Coss

Alors il faut en effet vérifier que les $\left]a,b\right]$ sont dans la tribu de Borel.

Pour l'inclusion dont le corrigé se préoccupe, il faut apparemment savoir que tout ouvert de $\R$ est une réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts. Il y a peut-être un autre argument fondé sur le fait que tout ouvert est une réunion d'intervalles de la forme $\left]a,b\right[$ avec $a$ et $b$ rationnels.

gerard0

Alors elle contient aussi les intervalles ouverts, et les intervalles semi fermés (complémentaires de fermés) et fermés (complémentaires de réunion d'ouverts).
C'est une conséquence évidente de la définition. 

Cordialement.

NB : c'est normal de faire cette réflexion quand on rencontre cette notion, on appelle ça apprendre son cours. 

raoul.S

Abdoumahmoudy a dit : 
Est ce qu'il ne faut pas  vérifier que les ]a,b] sont dans la tribu de Borel ??

Oui, tu peux constater que $]a,b]=]a,b[\cup \{b\}$. Or $]a,b[$ est dans la tribu de Borel et le singleton $\{b\}$ aussi car c'est le complémentaire d'un ouvert. Donc l'union $]a,b[\cup \{b\}$ est bien un borélien.

Math Coss

Deux autres arguments plus haut : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2470722/#Comment_2470722.