Tangente qui recoupe
Bonjour,
Je partage ceci : $I$ est un intervalle, $f:I\to\mathbf{R}$ est une fonction dérivable et $\mathcal{C}$ est sa courbe dans un repère. On suppose qu'il existe $A\in\mathcal{C}$ tel que la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ intersecte $\mathcal{C}$ en un autre point. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal{C}$, distinct de $A$, tel que $A$ appartienne la tangente à $\mathcal{C}$ en $B$.
Je partage ceci : $I$ est un intervalle, $f:I\to\mathbf{R}$ est une fonction dérivable et $\mathcal{C}$ est sa courbe dans un repère. On suppose qu'il existe $A\in\mathcal{C}$ tel que la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ intersecte $\mathcal{C}$ en un autre point. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal{C}$, distinct de $A$, tel que $A$ appartienne la tangente à $\mathcal{C}$ en $B$.
Réponses
-
Si $A=(a,f(a))$ et $B=(b,f(b))$, le fait que $B$ appartienne à la tangente en $A$ s'écrit $f(b)-f(a)=(b-a)f'(a)$. On cherche $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $(c-a)f'(c)=f(c)-f(a)$. Si $(b-a)f'(b)<f(b)-f(a)$, essayer avec un point $c$ où $(f(c)-f(a))/(c-a)$ est minimum (en $a$ ce rapport est défini comme $f'(a)$ : le minimum n'est pas atteint là par hypothèse) ; si $(b-a)f'(b)>f(b)-f(a)$, essayer avec un point $c$ où $(f(c)-f(a))/(c-a)$ est maximum.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres