Tangente qui recoupe

Magnéthorax
Modifié (March 2024) dans Analyse
Bonjour,
Je partage ceci : $I$ est un intervalle, $f:I\to\mathbf{R}$ est une fonction dérivable et $\mathcal{C}$ est sa courbe dans un repère. On suppose qu'il existe $A\in\mathcal{C}$ tel que la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ intersecte $\mathcal{C}$ en un autre point. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal{C}$, distinct de $A$, tel que $A$ appartienne la tangente à $\mathcal{C}$ en $B$.

Réponses

  • Si $A=(a,f(a))$ et $B=(b,f(b))$, le fait que $B$ appartienne à la tangente en $A$ s'écrit $f(b)-f(a)=(b-a)f'(a)$. On cherche $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $(c-a)f'(c)=f(c)-f(a)$. Si $(b-a)f'(b)<f(b)-f(a)$, essayer avec un point $c$ où $(f(c)-f(a))/(c-a)$ est minimum (en $a$ ce rapport est défini comme $f'(a)$ : le minimum n'est pas atteint là par hypothèse) ; si $(b-a)f'(b)>f(b)-f(a)$, essayer avec un point $c$ où $(f(c)-f(a))/(c-a)$ est maximum.
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