4 chiffres sur un clavier numérique

lourrran
Modifié (13 Mar) dans Combinatoire et Graphes
Je vous propose un petit exercice.
On a un clavier numérique 'classique'  (ma télécommande de télévision) : 1.2.3 sur la première ligne, 4.5.6 sur la 2ème, 7.8.9 sur la 3ème, et 0 sur la dernière, le 0 est en dessous du 8.

On tape un code à 4 chiffres sur ce clavier, avec un seul doigt. Le doigt dessine donc un certain motif. On considère que le doigt passe d'une touche à une autre en dessinant un segment droit. Et on considère que l'on "ferme la courbe".

Parmi tous les codes à 4 chiffres possibles, combien donnent comme dessin final un carré ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin

Réponses

  • C'est une question du jeu 100% logique?
    Je dirais 7?
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Le code 1-1-1-1 donne-t-il un carré ?
  • lourrran
    Modifié (13 Mar)
    Bien vu Dom, on va dire qu'on exclut les 10 carrés de taille nulle.
    Biely : 
    On ne demande pas combien de carrés, mais combien de codes à 4 chiffres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • J’en trouve… 56 (?). 
  • Pareil que Dom.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Même chose que Dom pour moi aussi (effectivement je m'étais arrêté sur le nombre de carrés...). Il doit bien y avoir un piège!
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • 7x4x2=56
    Bravo.
    En fait, en comptant les carrés, puis en multipliant par 8, c'est facile. Je n'étais pas du tout parti comme ça.

    Question 2, beaucoup plus difficile : combien de codes à 4 chiffres donnent des triangles ?  (je n'ai pas la réponse)

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • nicolas.patrois
    Modifié (13 Mar)
    666 ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Diable !
  • Ok, cette question est difficile, mais je ne pensais pas qu'elle serait diabolique.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Pour que les quatre chiffres donnent un triangle je comprends qu'il en faut trois alignés et le quatrième non aligné. Pour dessiner l'un de ces triangles il y a alors 4x2 façons donc le nombre demandé doit être multiple de 8. Je trouve 8x(7x7+4x6)=584 codes à 4 chiffres.
  • Dom
    Dom
    Modifié (13 Mar)
    Zut. J’avais compris qu’on parlait de code à trois chiffres désormais, implicitement. Mal lu, zut !
  • Mince, j’ai compté les codes à trois chiffres non alignés.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • lourrran
    Modifié (13 Mar)
    Pour anticiper une future question de Dom, les triangles plats ne sont pas acceptés.

    @Jandri,
    A priori, tu exclues les combinaisons comme (1,2,2,4) , ou encore (1,2,4,1) ?
    Sauf erreur, le 666ème triangle est obtenu avec la combinaison (2,0,6,2), et il y a donc plus de 666 triangles.
    Si on interdit les triangles avec 2 points confondus, j'arrive effectivement à 584.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Comme l’effectif des touches est petit, comment faites-vous : « à la main » ou « dénombrement » (en vue d’une généralisation ou bien par déformation professionnelle).
  • @lourrran
    Oui, j'ai exclu les combinaisons qui répètent un chiffre comme 1124.

    On peut dénombrer ces combinaisons qui répètent un chiffre : il y a 109 vrais triangles, 3 possibilités pour choisir le chiffre qui se répète, quatre points de départ et deux sens de parcours donc 109x24=2616.

    Mais je n'ai pas accepté les combinaisons comme 1215 qui pourraient aussi donner un triangle.
  • Même 1-2-0-1 est suspecte avec la répétition du 1 si on pousse un peu le bouchon. 
  • Je suis passé par un programme Python.
    Et ça m'a permis de comprendre l'approche de Jandri.
    Le 4x6 : ce sont les triangles qui s'appuient sur la droite 2,5,8,0 , il y a 4 façons de choisir 3 points alignés croissants sur cette droite, et il reste alors 6 options pour le dernier point du triangle.
    Le 7x7 : Il y a 7 segments de 3 points (si on s'interdit les segments sur la droite 2,5,8,0).
    Et quand on a un segment de 3 points, on a 7 options pour compléter le triangle.

    Et le facteur 8, c'est clair.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour Lourrran, avec ton code, combien trouves-tu de triangles (où on tape une touche une seule fois) si le 0 est sous la touche 7?


    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • lourrran
    Modifié (14 Mar)
    Avec mon code, on n'a pas la réponse à cette question, parce que j'ai passé un peu de temps à recenser les alignements de 3 touches, et donc il faudrait refaire ce travail.
    Avec le raisonnement de Jandri, ça paraît moins long. On a en plus une nouvelle ligne de 3 points, la ligne, 6,8,0 ...

    PS :
    En plus, je m'aperçois que je n'ai pas sauvegardé ma dernière version, grrr
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Umbre
    Modifié (15 Mar)

    Bonjour,

    J’aime bien cette question. Voici comment j’ai compté. Pour les triangles, soit le code possède 4 touches distinctes, soit il n’en possède que 3.

    • S’il en possède 4, il doit contenir un alignement de trois touches. On peut lister ces alignements.
      • Ceux qui se situent sur la colonne du zéro :
        258, 580, 280, 250. On peut compléter par n’importe quelle touche hors de cette ligne pour former un triangle (on exclut les triangles plats). Il y en a 6, d’où 6*4 = 24 combinaisons de 4 touches. Elles doivent être parcourues en commençant par une des quatre touches, dans un sens ou dans l’autre, d’où 24*4*2 = 192 codes.
      • Ceux qui se situent en dehors de la colonne du zéro :
        123, 456, 789, 147, 369, 159, 357. On peut compléter par n’importe laquelle des 7 autres touches pour former un triangle, d’où 7*7 = 49 combinaisons de 4 touches. Elles doivent être parcourues en commençant par une des quatre touches, dans un sens ou dans l’autre, d’où 49*4*2 = 392 codes.
    • S’il n’en possède que 3, elles ne doivent pas être alignées afin d’éviter les triangles plats. Sur un clavier de 10 touches, il existe au total 10!/((10-3)!3!) = 120 combinaisons de 3 touches, auxquelles il faut retrancher les combinaisons de touches alignées que nous avons déjà énumérées. D’où 120-4-7 = 109 combinaisons de 3 touches non alignées. Elles doivent être parcourues en commençant par une des trois touches, en répétant l’une des trois touches (Attention ! il y a deux façon de répéter la première touche, immédiatement ou à la fin), dans un sens ou dans l’autre. D’où 109*3*4*2 = 2616 codes.

    J’arrive donc à 2616+192+392 =  3200 codes à 4 chiffres produisant un triangle non plat sur un tel clavier, soit quasiment un tiers des codes possibles. Il est amusant que ce soit un « chiffre rond ».

    Voilà, j’espère ne pas avoir fait d’erreur.

    EDIT : Pardon, j'avais parcouru le fil de discussion trop vite, je me rends compte que tout cela a déjà été dit. Ce post n'est donc qu'une reformulation.

  • Pas si inutile que ça ; ça m'a incité à relire la discussion, et je n'avais pas vu le dernier message de Jandri.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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