Une intégrale sur $\mathbb{R}^d$

Fulgrim
Modifié (March 2024) dans Analyse
Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à calculer une intégrale qui apparaît dans un de mes calculs.
Soit $\epsilon,\alpha>0$, $z,y\in\mathbb{R}^d$ tels que $|y-z|>2\epsilon$. La boule ouverte centrée en $z$ et de rayon $\epsilon$ est notée $B(z,\epsilon)$.
J'aimerais calculer $$\int_{B(z,\epsilon)} \left( \dfrac{\epsilon^2 - |z-x|^2}{|x-y|^2-\epsilon^2}\right)^\alpha dx.$$
J'ai essayé de simplifier au maximum le problème, et j'obtiens que l'intégrale est égale à $$\epsilon^d \int_{B(0,1)} \left( \dfrac{1 - |x|^2}{|w-x|^2-1}\right)^\alpha dx,$$ avec $w := \frac{|z-y|}{\epsilon}$, mais je ne sais pas comment poursuivre. J'ai essayé de passer en coordonnées sphériques, mais si je le fais autour du point 0 c'est le dénominateur qui pose problème, et si je le fais autour de $w$ c'est le numérateur. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment continuer ?
Je soupçonne que l'intégrale vaille $\epsilon^{d+2\alpha}\frac{c}{|z-y|^{2\alpha}}$ pour une constante $c>0$ (ou au moins que ce soit un équivalent en $\epsilon\mapsto 0$) car c'est ce dont j'aurais besoin pour faire marcher mon calcul.
Merci d'avance :)

Réponses

  • Calli
    Modifié (March 2024)
    Bonjour,
    Par TCD, on a $$ |w|^{2\alpha}  \int_{B(0,1)} \left( \dfrac{1 - |x|^2}{|w-x|^2-1}\right)^\alpha dx \longrightarrow\int_{B(0,1)} ( 1 - |x|^2)^\alpha dx$$ quand $|w|\to\infty$ car $ \Big( \frac{|w|^2}{|w-x|^2-1}\Big)^\alpha $ converge uniformément vers 1 sur $B(0,1)$. Donc $$\int_{B(z,\epsilon)} \left( \dfrac{\epsilon^2 - |z-x|^2}{|x-y|^2-\epsilon^2}\right)^\alpha dx =\epsilon^d \int_{B(0,1)} \left( \dfrac{1 - |x|^2}{|w-x|^2-1}\right)^\alpha dx \sim  \frac{\epsilon^d}{|w|^{2\alpha}} \int_{B(0,1)} ( 1 - |x|^2)^\alpha dx = \frac{ \epsilon^{d+2\alpha}}{|z-y|^{2\alpha}} \int_{B(0,1)} ( 1 - |x|^2)^\alpha dx $$ à $y,z$ fixés quand $\epsilon\to0$.
  • Ah super oui c'est la matérialisation de ce que je faisais "avec les mains", merci :) cet équivalent devrait me suffire je pense.
    Par curiosité, y a-t-il un moyen de calculer cette intégrale exactement ?
  • Je ne sais pas.
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