Utilisation de l'implication dans la définition de l'inclusion

SiouxP

Bonjour
Je ne comprends pas quelle est la raison de l'utilisation de l'implication dans la définition de l'inclusion.
En d'autres termes,
Qu'est-ce qui dans la définition suivante ne va pas :
                                                                                   A ⊆ B signifie ∀ x ∈ A, x ∈ B
par rapport à la bonne définition : 
                                                                                   A ⊆ B signifie ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B )

J'ai essayé de raisonner avec des diagrammes de Venn pour identifier un cas de figure où ces deux définitions ne concordent pas mais sans succès.
Merci pour votre aide.
(Niveau L1).

Poirot

En fait, en logique mathématique, la formule $\forall x \in A, P(x)$ est une abréviation pour $\forall x, (x \in A \Rightarrow P(x))$, donc tes deux formules sont rigoureusement les mêmes.

SiouxP

Merci !

Amadou

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la première question et je ne suis pas trop sûr de ma réponse non plus. J'aimerais que vous m'éclaircissez un peu.

D'après moi, les deux ne sont pas pareilles.
Parce que dans la première, on parle de pour tout $x$, alors que dans la deuxième, on a juste un $Q$ qui ne dépend pas de $x$.
Concernant la deuxième question je n'ai aucun problème.

gerard0

Bonjour
Comme tu ne parles pas du message de Sioux (alors que tu sembles y répondre), ce que tu viens de faire est une impolitesse. Il était tellement facile d'ouvrir une nouvelle discussion. Mais venons à ta question sur l'exemple 1.1.15 :

Si tu penses que c'est faux, il te suffit de donner un exemple. Mais "dans la deuxième, on a juste un Q qui ne dépend pas de x" n'est pas un argument mathématique; et d'ailleurs, "dans la première, on a juste un Q qui ne dépend pas de x".

Cordialement.

Amadou

Bonsoir @gerard0 ! Comme ma question est en rapport avec ce fil de discussion, j'ai pensé qu'il serait plus préférable de la poser ici plutôt que d'ouvrir un nouveau fil de discussion.

Je m'excuse sincèrement !

Maintenant, je pense avoir compris ! Est-ce c'est correct ?

\begin{align*}
\forall x, ( P(x) \Rightarrow Q) & \Leftrightarrow \forall x, (\text{non} \,\ P(x) \vee Q) \\
& \Leftrightarrow \forall x, (\text{non} \,\ P(x)) \vee \forall x, \,\ Q \\
& \Leftrightarrow \forall x (\text{non} \,\ P(x) \vee Q \\
& \Leftrightarrow (\forall x P(x)) \Rightarrow Q
\end{align*}

gerard0

Comment justifies-tu le passage à la deuxième ligne ?

Amadou

J'ai dû utiliser la distributivité de $\forall $ par rapport à $\vee$.

gerard0

Ah bon  ! Et tu as trouvé ça où ?

Tu crois vraiment que $x$ étant un entier $\forall x, \ (x<\pi \vee x>\pi)$ signifie $(\forall x ,\ x<\pi) \vee (\forall x ,\ x>\pi)$ ?

Amadou

Honnêtement je n'ai vu nul part ! En fait, en maths, il y a des trucs qu'on fait souvent au début sans vraiment comprendre pourquoi. Par exemple, quand j'étais en 5ème, j'utilisais la distributivité de la multiplication avec l'addition sans savoir que ça s'appelait comme ça. Et de même je m'autorise à utiliser aussi la distributivité avec la soustraction. 

Amadou

gerard0 a dit :

Tu crois vraiment que $x$ étant un entier $\forall x, \ (x<\pi \vee x>\pi)$ signifie $(\forall x ,\ x<\pi) \vee (\forall x ,\ x>\pi)$ ?

Non c'est faux ! Un seul quantificateur suffit ici puisqu'il s'agit du même $x$.

gerard0

Non, ce n'est sûrement pas le même x, vu qu'il ne pourrait pas être à la fois strictement supérieur à Pi, et strictement inférieur à Pi.

Tu n'as pas sérieusement réfléchi à ce qui est écrit. Il y a une proposition valide et une proposition fausse.

Ton passage à la deuxième ligne ci-dessus est une tricherie (ça ressemble à des maths, ça n'en est pas).

Amadou

D'accord, je comprends maintenant. Cependant, si je supprime le second quantificateur dans ma deuxième ligne, est-ce que mon raisonnement est correct ?

Dom

Pour savoir si le raisonnement est correct il suffit de savoir s’il existe une règle de maths qui permet de passer d’une assertion à une autre. 

Tout doute doit être levé.  

Il suffit de justifier chaque étape et on voit où ça coince. Bien sûr une étourderie peut arriver ou une mauvaise utilisation d’une règle. C’est courant. 

gerard0

Si tu supprimes le deuxième quantificateur tu obtiens quoi ? Attention, applique une règle de logique, il ne s'agit pas ici de "faire comme".

Amadou

Si je supprime le deuxième quantificateur, j'obtiens : $\forall x (\text{non}(P(x))) \vee Q$.

Ce qui me pose réellement problème dans la proposition, c'est la présence du $x$ en question. Un $P$ qui dépend forcément de $x$, mais pas pour $Q$.

Pourtant, j'ai bien compris la définition de l'implication.

Amadou

Dom a dit :

Pour savoir si le raisonnement est correct il suffit de savoir s’il existe une règle de maths qui permet de passer d’une assertion à une autre.

Il m'est très difficile de répondre à cette question puisque je ne suis pas autant avancé dans mes études.

gerard0

Bon, tu n'as pas de règle de logique pour justifier ça. Supposons que ça convient. Tu remarqueras que ton $\forall x$ reste en dehors des parenthèses, il concerne donc tout ce qui suit. Comment se fait-il que soudain, à la dernière ligne, il est rentré dans une parenthèse ?

Une indication :  Peux-tu traduire $(\forall x P(x)) \Rightarrow Q $ sans utiliser l'implication (comme tu as fait à la première ligne) ?

Amadou

Une indication :  Peux-tu traduire $(\forall x P(x)) \Rightarrow Q $ sans utiliser l'implication (comme tu as fait à la première ligne) ?

$\forall x P(x) \Rightarrow Q$. On note $K$ la proposition $\forall x P(x)$. Alors $K\Rightarrow Q$ est équivalent à $(\text{non } K) \vee Q$. Donc dans mon cas j'aurais $\exists x (\text{non } P(x)) \vee Q$.

gerard0

Et tu en conclus ? 

Amadou

Ah oui je comprends  plus clair maintenant, j'en conclus que ma démonstration est fausse.

Lorsque je nie la proposition $\forall x, (P(x) \Rightarrow Q)$, j'obtiens $\exists x, (P(x) \wedge \text{non } Q)$, ce qui est l'equivalent à  $\exists x,  \text{non } (P(x) \Rightarrow Q)$. Et lorsque, je prends également la negation de $\forall x P(x) \Rightarrow Q$ j'obtiendrai $\exists x P(x)\wedge \text{non } Q$ qui est l'equivalent de  $\exists x \text{ non } (P(x) \Rightarrow Q)$. J'en deduis que les deux formules sont equivalentes*.

Tu remarqueras que ton $\forall x$ reste en dehors des parenthèses, il concerne donc tout ce qui suit.

* Je sais que la parenthèse joue un rôle essentiel, pour lever toute ambiguïté j'aimerais donc s'avoir ici si les deux sont équivalentes.
$\forall x P(x) \Rightarrow Q $ et $(\forall x P(x)) \Rightarrow Q$.

gerard0

Toujours des parenthésages un peu "légers". $\forall x P(x) \Rightarrow Q$ est douteux, on ne sait pas qui est quantifié, si c'est $P(x)$ ou si c'est $P(x) \Rightarrow Q$. Je ne suis pas sûr que ta nouvelle "démonstration" tienne le coup avec un parenthésage strict.

Pour en revenir à la question initiale, tu peux remarquer que dans une des formules, P peut dépendre de x, pas dans l'autre (regarde à quoi se rapporte la quantification).

Remarque. Dans l'utilisation de la logique dans le cœur des maths, on n'a pas de problème de ce genre, si on a bien quantifié au départ. On sait qui sont P(x) et Q.
Cordialement.

Amadou

Toujours des parenthésages un peu "légers". $\forall x P(x) \Rightarrow Q$ est douteux, on ne sait pas qui est quantifié, si c'est $P(x)$ ou si c'est $P(x) \Rightarrow Q$. Je ne suis pas sûr que ta nouvelle "démonstration" tienne le coup avec un parenthésage strict.

D'accord ! Je comprends.

Merci beaucoup d'avoir été super patient avec moi lors de vos explications. Vos deux dernières paragraphes m'ont également ouvert les yeux à mieux comprendre, surtout la dernière, celle de la remarque. Merci beaucoup @gerad0.