Théorie des opérateurs : intervertir la dérivée et un opérateur

NicolasH

Bonjour,

je considère un opérateur $E : X → Y$, où $X$ et $Y$ sont 2 espaces de Banach (typiquement dans mon cas des espaces fonctionnel) et $E$ est un opérateur linéaire borné pas forcément inversible. J'aimerais savoir dans quel cas peut-on intervertir la dérivée et l'opérateur $E$, c'est-à-dire dans quels cas a-t-on l'égalité $\dfrac{d}{dt}E(x(t)) = E(\dfrac{d}{dt}x(t))$, où $x(t)$ appartient à $X$.

Barjovrille

Bonjour, avec tes hypothèses tu peux faire comme en dimension finie si je ne me trompe pas. En revenant aux définitions si on note $\phi(t)=E(x(t))$. $\phi$ est différentiable comme composée de deux fonctions différentiables. Et par définition $\phi'(t)=D_t\phi(1)=(D_t(E\circ x))(1)=(D_{x(t)}E\circ D_tx)(1)=D_{x(t)}E(D_tx(1))=D_{x(t)}E(x'(t))$, mais comme $E$ est linéaire alors en particulier $D_{x(t)}E=E$ et tu as ce que tu cherches.