Égalité et inclusion d'ensembles

Amadou
Modifié (5 Mar) dans Fondements et Logique
J'avais commencé à travailler sur cet exercice dans mon brouillon, avant que je ne me rende compte de mon niveau réel (seconde).  Je voulais donc demander de l'aide pour me faire encore corriger et de faire un retour pour revoir les notions basiques du lycée.

1.  Soit $x\in \mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$. Montrons que $x\in \mathcal {P}(A\cap {B})$.
On a $x\in \mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ alors $x\in \mathcal{P}(A)$ et $x\in \mathcal{P}(B)$, donc $x$ est inclus dans $A$ et il est aussi inclus dans $B$. Donc $x$ est inclus dans $A\cap{B}$ alors $x\in \mathcal{P}(A\cap{B})$. D'où $\mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \subset \mathcal {P}(A\cap {B})$. (*)

Réciproquement, soit $x\in \mathcal {P}(A\cap {B})$. Montrons que $x\in \mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$.
On a  $x\in \mathcal {P}(A\cap {B})$ alors $x$ est inclus dans $A\cap{B}$ donc $x$ est inclus dans $A$ et de même dans $B$. Alors $x\in \mathcal {P}(A)$ et $x\in \mathcal {P}(B)$ donc $x\in \mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$. D'où $\mathcal {P}(A\cap {B}) \subset {P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$. (**)

De (*) et (**) on en déduit que $\mathcal {P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal {P}(A\cap {B})$. Donc elle est vrai.

Dans mon cours il est dit que pour montrer une égalité d'ensemble : soit on raisonne par double inclusion (comme me l'a dit @NicoLeProf dans un autre fil de discussion) ou soit on raisonne directement par équivalence*** mais j'aimerais juste juste savoir, est-ce que je peux raisonner ici directement par équivalence (car ça demande qu'une seule ligne) ?

2.  Je suis conscient que ce que je vais écrire n'est pas une démonstration mais j'ai essayé de faire comme pour le 1) mais je ne m'y vois pas avancé. J'ai donc voulu choisir des exemples pour y [voir] clair. 

Si je choisis $A=\{0, 1, 2\}$ et $B=\{2, 3, 4\}$ alors $A\cup{B}=\{0, 1, 2, 3, 4\}$. Donc $A\cup{B}$ n'est inclus ni dans $A$ ni dans $B$.
Pour $A=[-1,5]$ et $B=[2, 8]$ alors $A\cup{B} = [-1, 8]$. Donc $A\cup{B}$ n'est pas inclus dans $A$ et non plus dans $B$.

Avec ces deux exemples j'en déduis que $\mathcal {P}(A\cup {B} ) = \mathcal {P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ est fausse.


*** Je n'ai pas oublié ces propos << Le raisonnement par équivalences logiques est à utiliser avec beaucoup de précaution, on préférera le garder dans des cas bien spécifiques : pour la résolution d'équations par exemple. >>
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • Bonjour,
    On peut parfaitement raisonner par équivalence pour 1).
  • La 1) et la 2) sont correctes. :+1:

  • Il est possible de raisonner par équivalences, mais je ne te le conseille pas pour le moment. Ta preuve est bien, inutile de la remplacer par un raisonnement où tu risques de faire énormément de fautes. Pour le moment, retiens qu'une égalité d'ensembles se montre essentiellement par double inclusion et essaie de faire ainsi.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (5 Mar)
    Il me semble qu'Amadou a parfaitement compris que
    $$C\in \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)$$veut dire$$C\in \mathcal{P}(A)\text{  et  }C\in\mathcal{P}(B)$$qui veut dire$$C\subset A\text{  et  }C\subset B$$qui veut dire$$C\subset A\cap B$$qui veut dire$$C\in \mathcal{P}(A\cap {B})\;.$$
  • Amadou
    Modifié (5 Mar)
    GaBuZoMeu a dit :
    On peut parfaitement raisonner par équivalence pour 1).
    Bonjour ! Ah d'accord.
    raoul.S a dit :
    La 1) et la 2) sont correctes. :+1:
    🥹💪 !
     Heuristique a dit :
     Ta preuve est bien, inutile de la remplacer par un raisonnement où tu risques de faire énormément de fautes. 
    D'accord ! C'est compris sinon je voulais juste avoir la certitude. 
    GaBuZoMeu a dit :
    Il me semble qu'Amadou a parfaitement ...
    Merci, ça fait vraiment du bien.

    @bisam je vous remercie une fois de plus pour ce document ! C'est vraiment précieux. Et mille merci à l'auteur s'il me lis ! 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Dom
    Dom
    Modifié (6 Mar)
    Quand j’ai lu la démonstration, je trouve que :

    C⊂A et C⊂B
    veut dire
    C⊂A∩B

    n’est pas aussi immédiat que les autres « veut dire que » [qui sont des définitions] dans le message de GaBuZoMeu que je salue 😀. 
    J’admets que cela peut venir de moi. 
    L’inclusion C⊂A se traduit par « quel que soit $x\in$ C, $x\in$ A » donc je trouve qu’il y a un petit travail à faire. Certes c’est une ligne de plus…
    Est-ce que je pinaille ?
  • Moi ce qui m'étonne @Dom est que tu n'aies pas remarqué que PetitLutinMalicieux a oublié des quantificateurs ICI... :mrgreen:
  • Dom
    Dom
    Modifié (5 Mar)
    Ha. Je crois que dans la discussion je n’ai rebondi que sur certains messages. 
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