Accroissements indépendants

tatof

Bonjour

Soit $B$ un mouvement brownien et $t_1<t_2<\dots <t_N$. Par définition les accroissements $B_{t_1}$, $B_{t_2}-B_{t_1},\dots ,B_{t_N}-B_{t_{N-1}}$ sont indépendants.

J'aimerais voir cette indépendance de façon pratique avec un code informatique. J'ai commencé par créer un mouvement brownien $B$ puis j'ai considéré les accroissements que j'ai stockés dans un vecteur $V=[B_{t_1},B_{t_2}-B_{t_1},\dots ,B_{t_N}-B_{t_{N-1}}]$. Pour voir l'indépendance j'ai multiplié par exemple le vecteur $V$ par $B_{t_1}$. Mais lorsque je fais la moyenne, je ne trouve pas $1$ car normalement $B_{t_1}$ suit une loi normale $N(0,1)$.

Où se trouve mon erreur ?
Merci.

lourrran

1) tu fais la moyenne de quoi ?
2) quand un variable suit une loi normale $N(0,1)$, la moyenne vaut $0$ ; c'est l'écart-type qui vaut $1$.

tatof

Je fais $B_{t_1}V=[B_{t_1}^2,(B_{t_2}-B_{t_1})B_{t_1},...,(B_{t_N}-B_{t_{N-1}})B_{t_1}]$ puis je prend l'espérance qui donne $E(B_{t_1}V)=[E(B_{t_1}^2),E((B_{t_2}-B_{t_1})B_{t_1}),...,E((B_{t_N}-B_{t_{N-1}})B_{t_1})]=[1,0,...,0]$ mais ce n'est pas cela que j'obtiens. Je pense qu'il faudrait un vecteur pour $B_{t_1}$ et après faire la moyenne.

Positif

import numpy as np

def generate_brownian(n: int, t: float) -> np.ndarray:
    assert t > 0
    assert n >= 3
    dt_ = t / n
    gaussian_variables = np.random.randn(n)
    gaussian_variables[0] = 0
    brownian = np.cumsum(gaussian_variables) * dt_**0.5
    return brownian

tatof

Pour simuler le mouvement brownien, je n'ai pas de problème. Je vous explique mon problème dans son ensemble.

Je prends un vecteur $u=[u_1,...,u_N]$ et je cherchais un vecteur $v=[v_1,...,v_N]$ dont les composantes sont aléatoires. Pour le produit terme à terme : $uv=[u_1v_1,...,u_Nv_N]$ et je veux vérifier la propriété suivante: $v_1uv=[u_1v_1^2,...,v_1u_Nv_N]$ avec $mean(v_1uv)= \frac{u_1v_1^2+\dots+v_1u_Nv_N} {N}\simeq u_1$.

Et pour vérifier cela, j'ai essayé le mouvement brownien.