Équation courbe elliptique/hyperelliptique

blaidddrwg

Bonjour à tous et à toutes
Par curiosité, j'aimerais savoir comment on peut résoudre les équations des courbes elliptiques/hyperelliptiques :
$$y^2 \mod {97}=(x^3-5x+7) \mod {97}\qquad\text{ ou }\qquad y^2 \mod {97}=(x^7-5x+7) \mod {97} .$$
Merci pour vos réponses !

philou22

En testant les 97x97 couples (x,y) possible avec un programme python. En effet il y compatibilité de la congruence modulo 97 avec l’addition et la multiplication.

blaidddrwg

@philou22 , c'est ce que j'ai déjà fait, mais je souhaiterais savoir comment résoudre ces équations avec une méthode mathématique.

bisam

Je ne sais pas si c'est étonnant ou non, mais il y a exactement le même nombre de solutions à chacune de ces deux équations, à savoir $102$.

philou22

@blaidddrwg tu peux regarder https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tonelli%E2%80%93Shanks_algorithm

philou22

D’un point de vue cryptographique asymétrique, on peut utiliser les courbes elliptiques pour produire et vérifier une signature mais par contre l’encodage d’un nombre arbitraire sur une courbe elliptique étant complexe voir parfois impossible, ce n’est pas pratique pour le chiffrement où RSA est lui fonctionnel bien qu’utilisant des clés plus longues pour un même niveau de sécurité de signature.