Somme des chiffres

Cidrolin
Modifié (March 2024) dans Arithmétique
Pour $n\in \N^*$, on désigne par $f(n)$ la somme des chiffres de l'écriture décimale de $n$. 
Si $f(15n)=6f(n)$, que dire de $f(4n)$ ?

Réponses

  • D'après les premiers exemples, $f(4n)=4f(n)$. Au passage, les $n$ que j'ai trouvés sont tous des nombres formés exclusivement de $0$ et $1$.
  • Si $n$ est composé exclusivement de $0$ et de $1$, alors $f(15n)=6f(n)$ et $f(4n) = 4f(n)$
    Peut-on avoir $f(15n)=6f(n)$ si $n$ comporte des chiffres autres que $0$ et $1$ ? Non. 
    $f(15n)$ est soit inférieur à $6f(n)$ dès que $n$ comporte au moins un chiffre autre que $0$ ou $1$, soit égal à $6f(n)$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Bravo.
    C'est un problème que je voulais poser fin décembre $23$  :
    On a $f(n)=506$ et $f(15n)= 3036$, calculer $f(4n)$.
  • LOU16
    Modifié (March 2024)
    Bonjour,
    Peut-être n'est-t-il pas inutile de formaliser une justification de ce qui a été dit.
    Soit $n =\displaystyle \sum_{k\geqslant 0} a_k10^k \:\:$ l'écriture décimale de $n$. Pour $k \in \N,\:$notons respectivement $q_k$ et $r_k$ le quotient et le reste de la division de $a_k$ par $2$.
    $a_k =2q_k+r_k.\quad \forall i,j \in \N, \:\:\:0\leqslant q_i +5r_j\leqslant 9,\qquad 5n =\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}(q_k10^{k+1} +5r_k 10^k),\qquad f(5n)=\sum_{k\geqslant0} (q_k+5r_k).$
    $f(15n) \leqslant f(10n) +f(5n)=\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}(q_k+5r_k+a_k),\qquad 6f(n)-f(15n)\geqslant\sum_{k\geqslant 0}(5a_k-5r_k-q_k )$$=\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}9 q_k.$
    $$\displaystyle 6f(n)\geqslant f(15n) +9\sum_{k\geqslant 0}q_k.$$
    $\bullet \:$ Si l'écriture décimale de $n$ contient un chiffre autre que $0$ et $1$,  alors $\:\:\exists k\in\N$ tel que $\:q_k>0\:\:$ et $\:\:6f(n)>f(15n).$
    $\bullet \:$ Dans le cas contraire: $\:\:\:\forall k\in \N ,\:q_k=0, \: r_k=a_k, \:\:\:\:f(15n)= f(10n) +f(5n) =6f(n).$
  • Merci @LOU16.
    J'utilise deux fois  la propriété $f(n+m)\leq f(n)+f(m)$.
    1) $6f(n)=f(15n) \leq f(10n)+f(n)+f(4n)$, donc $f(4n)\geq 4f(n)$
    2) $f(4n) \leq 4f(n)$
    Conclusion : $f(4n)=4f(n)$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.