Trois triangles équilatéraux, un point de Fermat

gipsyc
Modifié (February 2024) dans Géométrie
Bonjour
Un problème que je viens de publier sur Romantics of Geometry, un peu modifié (adapté aux goûts francophones).
Quelques propriétés déjà connues, d'autres sans doute moins connues dans la construction proposée.

Soient
• △ABC équilatéral, cercle circonscrit c₁︎ de centre O₁︎ 
   Point M milieu de BC 
   Point D quelconque sur BC, 
   donnant deux triangles équilatéraux opposés à A :
• △BDE équilatéral, cercle circonscrit c₂︎ de centre O₂︎
• △CDF équilatéral, cercle circonscrit c₃︎ de centre O₃︎
• △O₁︎O₂︎O₃︎, cercle circonscrit c₄︎ de centre O₄︎
• △DEF, cercle circonscrit c₅︎ de centre O₅︎
• BF ∩ CE = K
• Point N milieu de EF

Montrez que
• Le △O₁︎O₂︎O₃︎ est équilatéral de centre O₄︎ sur BC
• Les cercles circonscrits c ₁︎ ∩ c₂︎ ∩ c₃︎ ∩ c₄︎ = K
• Les droites O₅︎O₁︎, NO₄︎ et KD concourent au point A
• Les segments BF = CE
• D, O₂︎, O₅︎ et O₃︎ forment un parallélogramme.
• Dans le △DEF de centre circonscrit O₅︎ 
      O₅︎ est sur le cercle c₁︎ et sur le cercle c₄︎ 
      O₅︎ est fixe quelque soit la position de D
      K est le premier point de Fermat
      K est sur la D-symédiane
      K est la projection de O₅︎ sur la D-symédiane   (⇔ K est le point D-Dumpty)
      N est à distance constante de BC pour tout D
                  d(N,BC) = AM/2

Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

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