Une relation

Bouzar

Bonjour
Je propose ce problème.

Montrer que pour tout point $M$ sur le cercle inscrit du triangle $ABC,$ $$\frac{MA^2}{h_a}+ \frac{MB^2}{h_b}+ \frac{MC^2}{h_c}=2R+r.$$où $h_a, h_b$ et $h_c $ sont les longueurs des hauteurs issues de $A, B$ et $C$ respectivement, tandis que $R$ et $r$ désignent respectivement le rayon du cercle circonscrit et le rayon du cercle inscrit.

Amicalement

pappus

Bonjour Bouzar
Une  remarque :

$(\dfrac 1{h_a}:\dfrac 1{h_b}:\dfrac 1{h_c})=(a:b:c)$ sont des coordonnées barycentriques homogènes du point $I$ centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.

Ce n'est plus alors qu'une suite de calculs classiques de transformations de fonctions scalaires de Leibniz, lesquelles ont disparu de la circulation depuis belle lurette sans doute parce qu'elles étaient à la base de la construction de l'espace des cercles.

Amitiés
pappus

Rescassol

Bonjour,

En barycentrique:

% Bouzar - 27 Février 2024 - Une relation

clear all, clc

syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;

S2=Sab+Sbc+Sca; % 4 fois le carré de l'aire (donc S2=4*S^2)
% (a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c) = 4*S2 = 16*S^2

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms x y z real

ha=2*S/a; hb=2*S/b; hc=2*S/c;
M=[x; y; z];
X=Factor(Distance2(M,A,a,b,c)/ha+Distance2(M,B,a,b,c)/hb+Distance2(M,C,a,b,c)/hc);
% On trouve:
% X=(b*c*(b+c)*x^2 + c*a*(c+a)*y^2 + a*b*(a+b)*z^2 
% + 2*a*Sa*y*z + 2*b*Sb*z*x + 2*c*Sc*x*y)/(2*S*(x+y+z)^2)

% Or, on sait que:
R=a*b*c/(4*S); r=2*S/(a+b+c);

Y=2*R+r;

Eq=subs(numden(Factor(X-Y)),S^2,S2/4);
Eq=collect(Factor(4*Eq/(a+b+c)^2),[x y z]);
% On trouve:
% Eq=(b-a+c)^2*x^2 + (a-b+c)^2*y^2 + (a+b-c)^2*z^2 
% - 2*(a-b+c)*(b-a+c)*x*y - 2*(a+b-c)*(a-b+c)*y*z - 2*(a+b-c)*(b-a+c)*z*x 
% On reconnaît l'équation barycentrique du cercle inscrit 
% dans le triangle ABC.

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonjour pappus et Rescassol,

Merci pour vos contributions.

Amicalement