Polynôme

jellab_math

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ non constant et tel que $P(0)=1$. Montrer que

$\forall \varepsilon>0, \exists z \in \mathbb{C},|z|<\varepsilon \text { et }|P(z)|<1 .$

JLapin

Exploite le plus petit $k\geq 1$ tel que $p_k$ soit non nul, pose $p_k = r e^{i\theta}$ et choisis $z$ assez petit pour que $p_k z^k$ soit un réel strictement négatif. Il te restera à conclure par une étude asymptotique.

C'est essentiellement l'une des démonstrations classiques du théorème de d'Alembert.

Mais il y a peut-être d'autres preuves plus directes...

Etienne91

N’est-ce pas une conséquence de la contraposée du principe du maximum pour les fonctions holomorphes ?

JLapin

Je me suis effectivement demandé si son cours l'autorise à utiliser ce résultat...

jellab_math

Merci pour votre réponse je cherche une méthode adaptée au niveau des élèves 1ère année prépa mpsi

gebrane

Bonjour,
Est-ce que tu as ce théorème dans ton cours ?

Etienne91

Je ne connais pas beaucoup d’élèves de MPSI qui ont le principe du maximum des fonctions holomorphes dans leur cours 

gebrane

Quand même Etienne le théorème que je cite se démontre en deux lignes à l aide de la formule intégrale de Cauchy  ( je sais il a pour conséquence le principe de maximum)

Ajout,  Est-ce qu'on étudie l'analyse complexe en MPSI ?

Poirot

Bien sûr que non.

JLapin

Merci pour votre réponse je cherche une méthode adaptée au niveau des élèves 1ère année prépa mpsi

Ce que je t'ai proposé est adapté.

gebrane

Alors difficile de faire mieux que Jlapin