Polynôme

jellab_math
Modifié (26 Feb) dans Algèbre

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ non constant et tel que $P(0)=1$. Montrer que
$\forall \varepsilon>0, \exists z \in \mathbb{C},|z|<\varepsilon \text { et }|P(z)|<1 .$

Réponses

  • JLapin
    Modifié (26 Feb)
    Exploite le plus petit $k\geq 1$ tel que $p_k$ soit non nul, pose $p_k = r e^{i\theta}$ et choisis $z$ assez petit pour que $p_k z^k$ soit un réel strictement négatif. Il te restera à conclure par une étude asymptotique.
    C'est essentiellement l'une des démonstrations classiques du théorème de d'Alembert.
    Mais il y a peut-être d'autres preuves plus directes...
  • N’est-ce pas une conséquence de la contraposée du principe du maximum pour les fonctions holomorphes ?
  • JLapin
    Modifié (26 Feb)
    Je me suis effectivement demandé si son cours l'autorise à utiliser ce résultat...
  • jellab_math
    Modifié (27 Feb)
    Merci pour votre réponse je cherche une méthode adaptée au niveau des élèves 1ère année prépa mpsi
  • Bonjour,
    Est-ce que tu as ce théorème dans ton cours ?


    Le 😄 Farceur


  • Je ne connais pas beaucoup d’élèves de MPSI qui ont le principe du maximum des fonctions holomorphes dans leur cours  :D
  • gebrane
    Modifié (28 Feb)
    Quand même Etienne le théorème que je cite se démontre en deux lignes à l aide de la formule intégrale de Cauchy  ( je sais il a pour conséquence le principe de maximum)

    Ajout,  Est-ce qu'on étudie l'analyse complexe en MPSI ?
    Le 😄 Farceur


  • Bien sûr que non.
  • Merci pour votre réponse je cherche une méthode adaptée au niveau des élèves 1ère année prépa mpsi


    Ce que je t'ai proposé est adapté.


  • Alors difficile de faire mieux que Jlapin 
    Le 😄 Farceur


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