Des centaines d’intégrales : démonstration à trouver

etanche

Bonjour 

De quoi se préparer à MIT bee intégration 
https://en.wikiversity.org/wiki/User:Integrals123

@ Fin de partie connais-tu ce site?

Fin de partie

@Etanche : Je connaissais un wiki en Allemand avec du calcul d'intégrales plus ou moins classiques mais il y avait des solutions.

Il existe des espèces de bible d'intégrales, remplies d'identités d'intégrales (des formules avec intégrales et avec des paramètres) dont j'ai oublié le nom. Je me souviens que l'auteur d'une entre elles a un nom hollandais.

SkyMtn

@Fin de partie Tu parles du livre (Almost) Impossible Integrals, Sums and Series ?

Chaurien

Cette liste d'intégrales donne le vertige, de quoi occuper @Fin_de_Partie pour le restant de ses jours, qu'on espère longs et féconds.

Il faudrait tout de même distinguer la primitivation en termes de fonctions élémentaires et le calcul d'intégrales « définies », comme on disait naguère, sans primitive, C'est ce qu'on vient de voir dans le fil 

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2468250#Comment_2468250

respectivement pour $ \displaystyle \int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{t^{2}+1+\sqrt{t^{4}+t^{2}+1}}~dt$ et pour $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx$.

La liste des fonctions réputées « élémentaires » est par convention restreinte aux fonctions polynômes, rationnelles, irrationnelles algébriques, exponentielles, logarithmes, circulaires et hyperboliques directes et réciproques. Il n'est pas très facile de démontrer que telle primitive n'est oas élémentaire, par exemple $\displaystyle \int\frac{x}{\tan x}dx$. Le mieux serait peut-être de rassembler une liste de telles fonctions, et quand on en a une à étudier, de se ramener à une de la liste.

Bonne journée.

Fr. Ch.

Fin de partie

@SkyMtn : Non, pas du tout (à ce propos l'oeuvre  dont tu parles a deux tomes!). Il y a deux livres distincts (en réalité l'un sans doute  n'est pas un livre mais plusieurs volumes). Ce sont des oeuvres beaucoup plus anciennes.

Fin de partie

L'un des livres dont je parlais a été écrit par David Bierens de Haan (c'est un livre du dix-neuvième siècle).
L'autre oeuvre est due à Gradshteyn et  Ryzhik (milieu du vingtième siècle) et livre sur lequel, hélas, court encore des droits d'auteur.

Il y a un article de Wikipedia qui fait un point sur cette question bibliographique.

PS.
Wikipedia fait aussi un historique de l'oeuvre de Gradshteyn et Ryzhik.

Chaurien

Complément à mon précédent message.

Parfois, certaines intégrales « définies »,  comme on disait autrefois, c'est-à-dire comprises entre deux bornes, même s'il s'agit de primitives élémentaires, se calculent mieux autrement qu'avec la primitive, celle-ci ne donnant pas nécessairement l'expression la plus simple pour l'intégrale en question. Je pense par exemple aux intégrales de Wallis $ \displaystyle W_n= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n \theta d\theta$. 

Les techniques de primitivation, qui occupaient une grosse partie du cours sur l'intégration en prépa il y a soixante ans et plus, sont réduites aujourd’hui au profit de questions plus intéressantes, et c'est heureux. L'intégration par parties et par changement de variables ne sont plus seulement utiles pour la primitivation, mais pour changer l’expression d'une intégrale à telle ou telle fin, par exemple pour les formules de Taylor, Euler-Maclaurin, ou bien pour calculer des intégrales « définies » dans le cas de primitives non élémentaires.

Il n'en demeure pas moins quelques curiosités, comme on a vu dans l'autre fil susdit, de primitivations remarquables. En voici encore une. Il se trouve que $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{3}+1}}$ est une primitive élémentaire, mais que $\displaystyle  \int \sqrt[3]{x^{3}+1}~dx$ n'en est pas une.

Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Cyrano

Pratiquement toutes les intégrales de type $$\int_0^{+\infty} \ln^p(x) f(x) dx$$ peuvent se calculer par résidus si la fonction $f$ n'est pas trop méchante. Il suffit de considérer la fonction auxiliaire $$z \mapsto \ln^{p+1}(z) f(z)$$ avec la coupure sur $[0,+\infty[$ et d'intégrer sur un contour "pacman". Le point important est de bien choisir $p+1$ et non $p$ en exposant. (En faisant les calculs on comprend pourquoi.)