Morphismes de groupes filtrés complets

noradan
Modifié (26 Feb) dans Algèbre
Si ce n'est pas le bon endroit pour poser cette question on peut la déplacer !
J'étudie les corps locaux complets.
Cela fait 3 fois que je tombe sur des démonstrations qui sont vraiment semblables.
J'ai une application définie sur un groupe qui possède une filtration $F_n$ (je pense que c'est comme ça que l'on dit). Je veux dire par là qu'il y a une suite de sous-groupes emboités $F_n\subset F_{n+1}$.
L'application induite sur les quotients $F_n/ F_{n+1}$ est bijective ou surjective et on en déduit que l'application a la même propriété.
J'ai trouvé ça pour la surjectivité de la norme dans les extensions non ramifiées, pour la surjectivité de $x\rightarrow x^q$ dans le groupe des unités (avec $F_n=1+\frak p^n$ et avec $x\rightarrow x^q-x$ dans ${\frak o}_L$ ( et $F_n=\frak p^n$).
Je me dis qu'il y a peut-être un résultat général dont on pourrait tirer 3 applications.
Je sais que c'est un peu vague mais les contextes sont assez différents et pourtant les démonstration se ressemblent et utilisent toutes la complétude. On écrit la propriété pour les classes et on construit une suite par récurrence qui "pousse" le terme casse-pied vers 1 ou 0.
Est-ce que ça dit quelque chose à quelqu'un ?

Réponses

  • noradan
    Modifié (1 Mar)
    J'ai reçu une réponse parfaite sur mathstackexchange que j'améliore ici au cas où ça intéresserait quelqu'un.
    $\let\dsp\displaystyle\def\N{{\Bbb N}}\def\Z{{\Bbb  Z}}\let\fa\forall\let\xt\exists\let\imp\Longrightarrow\let\lra\longrightarrow$
    Soit $G$ un groupes abélien munis d'une filtration, c'est-à-dire une suite décroissante de sous-groupes $(G_n)$ avec $G_0=G$ et $\dsp
    \bigcap_\N G_n=\{0\}$.
    Cette filtration définit une valuation discrète sur $G$ par  $v(g)=\inf\{n\mid g\in G_n\}$ et une valeur absolue $|\ |$ qui munit donc $G$ d'une distance en fait ultramétrique et d'une structure uniforme pour laquelle
    $$\fa n,\quad x_n\in G_n\imp\lim x_n=0.$$
    La notion de suite de Cauchy s'exprime par $$\fa n,\ \xt N,\ \fa p,q\geq N,\quad x_p-x_q\in G_n$$ ou $g_p/g_q$ si le groupe est multiplicatif. Compte tenu de l'emboitage des $G_n$, cette condition revient en fait à $x_p-x_{p+1}\in G_n$.
    Un morphisme de groupes filtrés est un morphisme $f:G\lra H$ tel que $f(G_n)\subset H_n$ pour tout $n\in N$. qui n'est presque rien d'autre qu'une
    écriture de la continuité dans ce cadre.
    Ce morphisme induit donc pour tout $n\in N$ un morphisme $f_n: G_n/G_{n+1}\lra H_n/H_{n+1}$. On a alors
    --Si $\fa n\in \N$, $f_n$ est injective, alors $f$ est injective.
    --Si $G$ est complet et chaque $f_n$ surjective, alors $f$ est surjective.
    (1) si $f(g)=0$ alors $f_1(g)=0$ et comme $f_1$ est injective $g\in G_1$. Puis par récurrence, si l'on suppose $g\in G_n$ alors $f_n(g)=0\imp
    g\in G_{n+1}$ par injectivité de $f_n$. Ainsi $g\in\bigcap G_n$ donc $g=0$.
    (2) Soit $h=h_0\in H$. La classe de $h$ dans $H_0/H_1$ admet un antécédent $\dot g$ dans $G_0/G_1$ autrement dit, il existe $h'\in H_1$  et $g_1\in G_1$ tel que $h+h_1=f(g+g_1)$ soit $h_1=f(g+g_1)-h$.Par récurrence, on construit une suite $(g_n)$ telle que $g_n=g_{n+1} \mod G_n$ et $h=f(g_n)\mod H_n$.
    Si $g_n$ est connu,  $f(g_n)-h=k_n$ est dans $H_n$ par hypothèse. Donc, puisque $f_n$ est surjective, il existe $g_n'\in G_n$ tel que $f(g_n')=k_n \mod H_{n+1}$. On pose alors $g_{n+1}=g_n-g'_n$, et l'on a bien d'une part $g_{n+1}=g_n\mod G_n$ et d'autre part
    $$f(g_{n+1})-h=f(g_n)-h-f(g'_n)=f(g_n)-h+h-f(g_n)=0 \mod H_{n+1}$$
    La suite $g_n$ est donc de Cauchy et de ce fait convergente. Soit $g=\lim g_n$, par passage à la limite sur $k$ dans
    $x_n-x_{n+k}\in G_n$ on obtient $g=g_n\mod G_n$ donc $f(g)-f(g_n)\in H_n$, puis $f(g)-h=f(g)-f(g_n)+f(g_n)-h\in H_n$ et donc $f(g)=h$
    L'hypothèse de complétude de $G$ est nécessaire autrement on a le contre exemple de l'inclusion $Z\lra \Z_p$ fournissant des isomorphismes
    $p^n\Z\big/p^{n+1}\Z\lra p^n\Z_p\big/p^{n+1}Z_p$ alors que le plongement initial n'est évidemment pas surjectif.
    voili-voilou
  • Autre propriété similaire que j'ai utilisée assez souvent. Supposons,  avec les notations du mail précédent, qu'un groupe $\Gamma$ agisse sur $G$ en respectant la filtration. Il agit donc sur les $G_n /G_{n+1}$. Alors si $H^1 (\Gamma ,G_n /G_{n+1}) =1$, pour tout $n$ (1er groupe de cohomologie, ou 1er ensemble de cohomologie si $G$ n'est pas abélien), on a $H^1 (\Gamma ,G) =1$. Je n'ai pas la référence exacte en tête. C'est sûrement dans Corps locaux de Serre, ou Basic number theory de Cassels et Fröhlich.
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